Equação diferencial exata
Este artigo trata de equação diferencial ordinária exata no sentido denotativo, para possível sentido conotativo, que pode causar confusão, ver equações diferenciais estocásticas.
Uma Equação diferencial ordinária é dita exata[1] quando é possível colocá-la na seguinte forma:
- M(x,y)dx+N(x,y)dy=0{displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}
e
- ∂M∂y=∂N∂x{displaystyle {frac {partial M}{partial y}}={frac {partial N}{partial x}}}
com M{displaystyle M}
Índice
1 Teorema
2 Método de Solução
3 Exemplo
4 Exemplo no plano
5 Referências
6 Ver também
Teorema |
O seguinte teorema fornece um método sistemático de determinar se uma equação diferencial dada é exata.[2]
Suponha que as funções M,N,My{displaystyle M,N,M_{y}}
Então, a equação
- M(x,y)dx+N(x,y)dy=0{displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}
é uma equação diferencial exata em R{displaystyle R}
∂M(x,y)∂y=∂N(x,y)∂x{displaystyle {frac {partial M(x,y)}{partial y}}={frac {partial N(x,y)}{partial x}}}(1)
em cada ponto de R.
Isto é, existe uma função F(x,y){displaystyle F(x,y)}
- ∂F(x,y)∂x=M(x,y){displaystyle {frac {partial F(x,y)}{partial x}}=M(x,y)}
- ∂F(x,y)∂y=N(x,y){displaystyle {frac {partial F(x,y)}{partial y}}=N(x,y)}
se, e só se, M{displaystyle M}
∂F(x,y)∂x∂y=∂F(x,y)∂y∂x{displaystyle {frac {partial F(x,y)}{partial xpartial y}}={frac {partial F(x,y)}{partial ypartial x}}}
Método de Solução |
Uma equação diferencial ordinária do tipo
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0{displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}
é equivalente a
M(x,y)+N(x,y)y′=0{displaystyle M(x,y)+N(x,y)y'=0}
Se ela for uma equação exata, teremos que M∂y=N∂x{displaystyle {frac {M}{partial y}}={frac {N}{partial x}}}
Então podemos supor que há uma função F{displaystyle F}
Assim, para obter essa função basta integrar M(x,y){displaystyle M(x,y)}
F=∫M(x,y)dx+g(y){displaystyle F=int {M(x,y)dx}+g(y)}
Agora podemos derivar F{displaystyle F}
∂F∂y=∂∂y∫M(x,y)dx+g′(y)=N(x,y){displaystyle {frac {partial {F}}{partial {y}}}={frac {partial }{partial {y}}}int {M(x,y)dx+g'(y)}=N(x,y)}
Isolando g′(y){displaystyle g'(y)}
g′(y)=N(x,y)−∂∂y∫M(x,y)dx{displaystyle g'(y)=N(x,y)-{frac {partial }{partial {y}}}int {M(x,y)dx}}
Então, por fim, integramos g′(y){displaystyle g'(y)}
g(y)=∫(N(x,y)−∂∂y∫M(x,y)dx)dy{displaystyle g(y)=int left({N(x,y)-{frac {partial }{partial {y}}}int {M(x,y)dx}}right)dy}
Ou seja
F=∫M(x,y)dx+g(y)=∫M(x,y)dx+∫(N(x,y)−∂∂y∫M(x,y)dx)dy{displaystyle F=int {M(x,y)dx}+g(y)=int {M(x,y)dx}+int left({N(x,y)-{frac {partial }{partial {y}}}int {M(x,y)dx}}right)dy}
E, finalmente, a solução da equação diferencial é a função implícita F(x,y)=c{displaystyle F(x,y)=c}
Exemplo |
Resolvamos a equação Diferencial Ordinária y′=dydx=−(2x+y2)(2x+1)y{displaystyle y'={frac {dy}{dx}}={frac {-(2x+y^{2})}{(2x+1)y}}}
Temos:
(2x+y2)dx+(2xy+y)dy=0{displaystyle (2x+y^{2})dx+(2xy+y)dy=0},
onde
M=(2x+y2){displaystyle M=(2x+y^{2})}e N=(2xy+y){displaystyle N=(2xy+y)}
.
Logo, ∂M∂y=2y=∂N∂x{displaystyle {frac {partial M}{partial y}}=2y={frac {partial N}{partial x}}}
Pelo corolário acima, ∃F(x,y), então:
∂F∂x=M=2x+y2{displaystyle {frac {partial F}{partial x}}=M=2x+y^{2}}.
Integrando em relação a x:
F(x,y)=x2+xy2+f(y){displaystyle F(x,y)=x^{2}+xy^{2}+f(y)}, em que f(y) é uma função de y.
Além disso, ∂F∂y=N=2xy+f′(y)=2xy+y{displaystyle {frac {partial F}{partial y}}=N=2xy+f'(y)=2xy+y}
Integrando em relação a y, temos: f(y)=y22+c{displaystyle f(y)={frac {y^{2}}{2}}+c}
Logo, pelo corolário, a função F é:
- F(x,y)=x2+xy2+y22+c{displaystyle F(x,y)=x^{2}+xy^{2}+{frac {y^{2}}{2}}+c}
A solução da equação diferencial exata é F(x,y)=0{displaystyle F(x,y)=0}
- x2+xy2+y22+c=0{displaystyle x^{2}+xy^{2}+{frac {y^{2}}{2}}+c=0}
Exemplo no plano |
Considere uma função diferenciável
z=F(x,y);(x,y)∈Ω⊂R2{displaystyle z=F(x,y);(x,y)in Omega subset {mathbf {R} }^{2}}da qual pode-se deduzir a expressão diferencial exata
- dz=∂F∂xdx+∂F∂ydy{displaystyle dz={frac {partial F}{partial x}}dx+{frac {partial F}{partial y}}dy}
A expressão que deu origem à equação, z=F(x,y){displaystyle z=F(x,y)}
Esta superfície, quando cortada pelo plano (de altura) constante z=C{displaystyle z=C}
- z=Cz=F(x,y){displaystyle {begin{array}{ll}z=C\z=F(x,y)\end{array}}}
Geometricamente falando, o resultado desta interseção é uma curva no espaço, obtida pela interserção de duas superfícies. Como o plano é paralelo ao plano XOY{displaystyle XOY}
- F(x,y)=C{displaystyle F(x,y)=C}
Diferenciando esta última equação, obtemos:
- ∂F∂xdx+∂F∂ydy=0{displaystyle {frac {partial F}{partial x}}dx+{frac {partial F}{partial y}}dy=0}
Esta última expressão é a que em geral temos, a equação diferencial exata. Quer dizer, resolver uma equação diferencial exata consiste em recuperar, se for possível, a função cuja diferencial se encontra expressa na equação.
Mas não é nesta forma canônica, das equações diferenciais exatas, uma das razões disso é que ela podem representar formas não exatas. A forma canônica é
- P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0{displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0}
Esta equação é dita exata se existe uma função w=F(x,y){displaystyle w=F(x,y)}
P(x,y)=∂F∂xQ(x,y)=∂F∂y{displaystyle {begin{array}{l}P(x,y)={frac {partial F}{partial x}}\Q(x,y)={frac {partial F}{partial y}}\end{array}}}
Resolver, então, a equação diferencial exata consiste em descobrir F{displaystyle F}
Referências
↑ ab E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 51. ISBN 978-85-216-1499-9 A referência emprega parâmetros obsoletos|coautor=(ajuda)
↑ ab E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. ISBN 978-85-216-1499-9 A referência emprega parâmetros obsoletos|coautor=(ajuda)
- Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers:Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications, 157-160. ISBN 0-486-41147-8
Ver também |
- Método do fator integrante
- Equações separáveis
- Método da variação de parâmetros
- Redução de ordem
- Coeficientes a determinar
Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias (wikilivro)
