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 Nota: Para outros significados, veja Integral (desambiguação).

No cálculo, a integral^{[nota 1]} de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano^[1] e também surge naturalmente em dezenas de problemas da física, como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes. ^{[carece de fontes?]}

Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas não podem segundo outra.^[1]

O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.^[2] A integral indefinida também é conhecida como antiderivada.

Definição formal e notação |

Integral definida |

Integrando a área de uma função abaixo de uma curva

Seja f{displaystyle f} uma função contínua definida no intervalo [a,b].{displaystyle [a,b].} A integral definida desta função é denotada como^[3]:

Em linguagem matemática	Em português
S=∫abf(x)dx{displaystyle S={int _{a}^{b}}{f(x)}dx}	S{displaystyle S} é a integral da função f(x),{displaystyle {f(x)},} no intervalo entre a{displaystyle a} e b.{displaystyle b.} ∫{displaystyle {int }} é o sinal da integral, f(x){displaystyle {f(x)}} é o integrando e os pontos a{displaystyle {a}} e b{displaystyle {b}} são os limites (inferior e superior, respectivamente) de integração.
Onde f:[a,b]→R{displaystyle {f}:left[{a},{b}right]rightarrow mathbb {R} }	f{displaystyle {f}} é uma função com domínio no espaço fechado [a,b] (com a≤x≤b{displaystyle {a}leq xleq {b}}) e com imagem no conjunto dos números reais

Integral da função sen(x3π−1)+4{textstyle {text{sen}}left({frac {x}{3}}pi -1right)+4} sobre o intervalo [1,9].{displaystyle [1,9].} O valor da soma de Riemann truncada em n{displaystyle n} sub-intervalos é indicada por S.{displaystyle S.}

A ideia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório^[4]. Isto porque, intuitivamente, a integral de f(x){displaystyle {f(x)}} sobre o intervalo [a,b]{displaystyle [a,b]} pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base Δx{displaystyle Delta x} tendendo a zero e altura f(xi∗),{displaystyle {f(x_{i}^{*})},} onde o produto f(xi∗)Δx{displaystyle {f(x_{i}^{*})}Delta x} é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas (áreas infinitesimais), fornece a área entre a curva y=f(x){displaystyle y=f(x)} e o eixo das abscissas. Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma:^[3]

O que é o integral (animação)

Em linguagem matemática	Em português
∫abf(x)dx=limΔx→0∑i=0nf(xi∗)Δx{displaystyle {int _{a}^{b}}{f(x)}dx=lim _{Delta xto 0}sum _{i=0}^{n}{f(x_{i}^{*})}Delta x}	A integral de f(x){displaystyle {f(x)}} no intervalo [a,b] é igual ao limite do somatório de cada um dos valores que a função f(x) assume, de 0 a n, multiplicados por Δx.{displaystyle Delta x.} O que se espera é que quando n for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de f(x){displaystyle {f(x)}} no intervalo. Ou seja, que o limite esteja definido. A definição de integral aqui apresentada é chamada de soma de Riemann, mas há outras formas (equivalentes).
onde Δx=b−an{displaystyle Delta x={frac {b-a}{n}}}	Comprimento dos pequenos subintervalos nos quais se divide o intervalo [a,b]. Os extremos destes intervalos são os números x0(=a),x1,...xn(=b).{displaystyle x_{0}left(=aright),x_{1},...x_{n}left(=bright).}
onde xi∗=limΔx→0i⋅Δx+a{displaystyle x_{i}^{*}=lim _{Delta xto 0}icdot Delta x+a}	Equivale a um ponto num intervalo de a{displaystyle a} até b{displaystyle b} da função quando o valor do número de termos n{displaystyle n} tende a infinito ou equivalentemente quando o valor de Δx{displaystyle Delta x} tende a 0,nesse caso a letra i{displaystyle i} define o enésimo termo de uma sequência infinita ligada aos valores que cada xi∗{displaystyle x_{i}^{*}} assumirá.
onde f(xi∗){displaystyle {f(x_{i}^{*})}}	Valor ("altura") da função f(x){displaystyle {f(x)}} quando x é igual ao ponto amostral xi∗,{displaystyle x_{i}^{*},} definido como um ponto que está no subintervalo [xi−1,xi]{displaystyle left[x_{i-1},x_{i}right]} (podendo até mesmo ser um destes pontos extremos do subintervalo).

Uma integral definida pode ser própria ou imprópria, convergente ou divergente. Neste último caso, ela representa uma área infinita.

Integral indefinida |

A integral indefinida de f(x){displaystyle f(x)} é a função (ou família de funções) definida por ^[5][6]:

∫f(x)dx=F(x)+C{displaystyle int {f(x)}dx=F(x)+C}

em que C{displaystyle C} é uma constante indeterminada e F(x){displaystyle F(x)} é uma antiderivada ou primitiva de f(x),{displaystyle f(x),} i.e. F′(x)=f(x).{displaystyle F'(x)=f(x).} A notação ∫f(x)dx{displaystyle int f(x)dx} é lida como: a integral de f(x){displaystyle f(x)} em relação a x.{displaystyle x.}

É importante saber-se distinguir a integral definida da integral indefinida. Uma integral definida é um número, enquanto uma integral indefinida é uma função (ou uma família de funções). Como consideramos a integral como uma antiderivada, ou seja, o inverso da derivada, colocamos a constante C{displaystyle C} pois a derivada da constante resulta em 0,{displaystyle 0,} reatando assim apenas a derivada de F(x){displaystyle F(x)} que nada mais é do que a própria função f(x).{displaystyle f(x).} Logo, temos uma primitiva para cada valor de C{displaystyle C}^[7].

Teorema Fundamental do Cálculo |

Ver artigo principal: Teorema fundamental do cálculo

O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece que se f(x){displaystyle f(x)} for contínua em [a,b],{displaystyle [a,b],} então^[8]:

∫abf(x)dx=F(b)−F(a){displaystyle int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}

onde, F(x){displaystyle F(x)} é uma antiderivada de f(x).{displaystyle f(x).}

De forma mais geral, este teorema afirma que se f(x){displaystyle f(x)} é uma função contínua em um intervalo I{displaystyle I} então, para qualquer a∈I,{displaystyle ain I,} temos que:

F(x)=∫axf(t)dt{displaystyle F(x)=int _{a}^{x}f(t)dt}

é uma antiderivada de f(x){displaystyle f(x)} definida para todo x∈I.{displaystyle xin I.} Ou seja:

ddx[∫axf(t)dt]=f(x).{displaystyle {frac {d}{dx}}left[int _{a}^{x}f(t)dtright]=f(x).}

Seja f(x){displaystyle f(x)} é uma função não-negativa definida em um intervalo I{displaystyle I} e a∈I.{displaystyle ain I.} Para cada ponto x>a,{displaystyle x>a,} a área A{displaystyle A} sob o gráfico de f(x){displaystyle f(x)} restrita ao intervalo [a,x]{displaystyle [a,x]} é função de x,{displaystyle x,} i.e. A=A(x).{displaystyle A=A(x).} Neste caso, como consequência do Teorema Fundamental do Cálculo temos que a derivada da área A{displaystyle A} é igual a função f(x),{displaystyle f(x),} i.e. A′(x)=f(x).{displaystyle A'(x)=f(x).}

Cálculo de integrais definidas |

Suponhamos uma função f(x){displaystyle f(x)} e duas funções em escada t(x){displaystyle t(x)} e s(x),{displaystyle s(x),} onde t(x)≤f(x)≤s(x){displaystyle t(x)leq f(x)leq s(x)} para todo x∈R.{displaystyle xin mathbb {R} .} Como as funções em escada possuem áreas definidas como retângulos, podemos achar funções em escada que formem retângulos com a bases cada vez mais estreitas, assim a soma das áreas dos retângulos se aproximam cada vez mais da área de f(x).{displaystyle f(x).} Portanto, temos que

∫abt(x)dx≤∫abf(x)dx≤∫abs(x)dx{displaystyle int limits _{a}^{b}t(x)dxleq int limits _{a}^{b}f(x)dxleq int limits _{a}^{b}s(x)dx}

Onde a{displaystyle a} e b{displaystyle b} são os intervalos de integração. A base de cada retângulo de t(x){displaystyle t(x)} e s(x){displaystyle s(x)} é dada por

b−an{displaystyle {frac {b-a}{n}}}

onde n é um número inteiro positivo que representa o número de retângulos, ou o número de subintervalos de [a,b].{displaystyle [a,b].} A área de cada retângulo é dada pelo produto entre sua base e sua altura. Portanto temos a área de cada retângulo:

b−anf(xk){displaystyle {frac {b-a}{n}}f(x_{k})}

onde k{displaystyle k} é um número inteiro positivo, que representa o subintervalo, ou seja, xk=a+k(b−a)n.{textstyle x_{k}=a+k{frac {(b-a)}{n}}.} O xk{displaystyle x_{k}} nos dá a posição no eixo x{displaystyle x} de cada subintervalo.

Já que t(x){displaystyle t(x)} e s(x){displaystyle s(x)} são funções em escada, pela relação t(x)≤f(x)≤s(x){displaystyle t(x)leq f(x)leq s(x)} temos que sn(x)=f(xk−1),tn(x)=f(xk).{displaystyle s_{n}(x)=f(x_{k-1}),quad t_{n}(x)=f(x_{k}).} Portanto

∑k=1nf(xk)b−an≤∫abf(x)dx≤∑k=0n−1f(xk)b−an{displaystyle sum _{k=1}^{n}f(x_{k}){frac {b-a}{n}}leq int limits _{a}^{b}f(x)dxleq sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k}){frac {b-a}{n}}}

b−an∑k=1nf(xk)≤∫abf(x)dx≤b−an∑k=0n−1f(xk){displaystyle {frac {b-a}{n}}sum _{k=1}^{n}f(x_{k})leq int limits _{a}^{b}f(x)dxleq {frac {b-a}{n}}sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k})}

Isso significa que a integral de qualquer função f(x){displaystyle f(x)} de área mensurável está entre a área de todos os retângulos superiores e retângulos inferiores. Portanto, a área de qualquer função f(x){displaystyle f(x)} obedece à equação acima.

Pelas duas equações anteriores fica claro a razão da integral ser denotada com um dx,{displaystyle dx,} ele significa um intervalo (retângulo) infinitesimal, que surge quando n{displaystyle n} tende ao infinito.

Integral de polinômios |

Começando pela desigualdade^[9][10]

∑k=1n−1kp<np+1p+1<∑k=1nkp{displaystyle sum _{k=1}^{n-1}k^{p}<{frac {n^{p+1}}{p+1}}<sum _{k=1}^{n}k^{p}}

Multiplicamos todos os termos por bp+1np+1{displaystyle {frac {b^{p+1}}{n^{p+1}}}}

bn∑k=1n−1(kbn)p<bp+1p+1<bn∑k=1n(kbn)p{displaystyle {frac {b}{n}}sum _{k=1}^{n-1}left({frac {kb}{n}}right)^{p}<{frac {b^{p+1}}{p+1}}<{frac {b}{n}}sum _{k=1}^{n}left({frac {kb}{n}}right)^{p}}

Fazendo f(x)=xp{displaystyle f(x)=x^{p}} e xk=kbn{displaystyle x_{k}={frac {kb}{n}}} para k=0,1,2,...,n{displaystyle k=0,1,2,...,n} ficamos com

bn∑k=0n−1f(xk)<bp+1p+1<bn∑k=1nf(xk){displaystyle {frac {b}{n}}sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k})<{frac {b^{p+1}}{p+1}}<{frac {b}{n}}sum _{k=1}^{n}f(x_{k})}

Portanto

∫0bxpdx=bp+1p+1{displaystyle int limits _{0}^{b}x^{p}dx={frac {b^{p+1}}{p+1}}}

Podemos, fazendo uso da propriedade aditiva das integrais^[11], generalizar para todo intervalo [a,b]:{displaystyle [a,b]:}

∫abxpdx=∫0bxpdx−∫0axpdx{displaystyle int limits _{a}^{b}x^{p}dx=int limits _{0}^{b}x^{p}dx-int limits _{0}^{a}x^{p}dx}

∫abxpdx=bp+1−ap+1p+1{displaystyle int limits _{a}^{b}x^{p}dx={frac {b^{p+1}-a^{p+1}}{p+1}}}

Que também pode ser escrito como:

∫abxpdx=xp+1p+1|ab{displaystyle int limits _{a}^{b}x^{p}dx={frac {x^{p+1}}{p+1}}{Biggr |}_{a}^{b}}

Exemplo de integração de polinômios |

A=∫252x2dx{displaystyle A=int limits _{2}^{5}2x^{2}dx}

Pelas propriedades das integrais, a constante 2{displaystyle 2} fica fora da integral, portanto obtemos

A=2∫25x2=2x33|25=253−233=78{displaystyle A=2int limits _{2}^{5}x^{2}=2{frac {x^{3}}{3}}{Biggr |}_{2}^{5}=2{frac {5^{3}-2^{3}}{3}}=78}

Passo-a-Passo |

Fórmula das Primitivas |

∫a⋅xndx=a⋅xn+1n+1{displaystyle int acdot x^{n}dx={frac {acdot x^{n+1}}{n+1}}}

Exemplo:

Cada membro da função é tratado como uma função em separado, para em seguida ser efetuada a soma entre eles e gerar outra função, a função na qual se substitui o valor de X pelos valores do intervalo. Feito isso, usa-se o teorema do cálculo para chegar ao valor da integral.

No intervalo (0,3)

f(x)=x2+2x+4{displaystyle f(x)=x^{2}+2x+4}

∫x2dx+∫(2x)dx+∫(4)dx{displaystyle int x^{2}dx+int (2x)dx+int (4)dx}

Aqui usa-se a Fórmula da Primitiva em cada integral.

x2+12+1+2⋅x1+11+1+4⋅x0+10+1{displaystyle {frac {x^{2+1}}{2+1}}+{frac {2cdot x^{1+1}}{1+1}}+{frac {4cdot x^{0+1}}{0+1}}}

Gera-se a outra função, que será usada para substituir os valores do intervalo.

x33+2⋅x22+4⋅x{displaystyle {frac {x^{3}}{3}}+{frac {2cdot x^{2}}{2}}+4cdot x}

Para x = 0

f(a)=0{displaystyle f(a)=0}

Para x = 3

333+2⋅322+4⋅3{displaystyle {frac {3^{3}}{3}}+{frac {2cdot 3^{2}}{2}}+4cdot 3}

f(b)=30{displaystyle f(b)=30}

Aplicação do teorema fundamental do Cálculo |

Aproximações da integral de √x de 0 a 1, com ■ 5 amostras à direita (acima) e ■ 12 amostras à esquerda (abaixo)

∫abddxf(x)dx=f(b)−f(a){displaystyle int _{a}^{b}{frac {d}{dx}}f(x)dx=f(b)-f(a)}

∫03(x2+2x+4)dx=333+2.322+4.3−0=32+32+12=9+9+12=30{displaystyle int _{0}^{3}(x^{2}+2x+4)dx={frac {3^{3}}{3}}+{frac {2.3^{2}}{2}}+4.3-0=3^{2}+3^{2}+12=9+9+12=30}

Exemplos de integração |

Estas são as integrais de algumas das funções mais comuns:

∫ab1dx=x|ab=(b−a){displaystyle int _{a}^{b}1dx=x|_{a}^{b}=(b-a)}

∫abxdx=12x2|ab=12(b2−a2){displaystyle int _{a}^{b}xdx={frac {1}{2}}x^{2}|_{a}^{b}={frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})}

Por definição a barra f(x)|ab{displaystyle f(x)|_{a}^{b}} é utilizada com o significado da diferença f(b)−f(a){displaystyle f(b)-f(a)}

Aplicações de integrais na Física |

Uma das mais famosas aplicações das integrais é no conceito físico de trabalho. Na Física, o trabalho é definido como a quantidade de energia transferida ao aplicar-se uma força produzindo um deslocamento. Matematicamente, o trabalho realizado por uma força constante é expresso pela equação^[12]:

W=Fx{displaystyle W=Fx}

Onde W{displaystyle W} é o trabalho (medido em Joules), F{displaystyle F} a força (medida em newtons) e x{displaystyle x} o deslocamento (medido em metros). Portanto, se temos uma força não constante, que varia em função da posição, temos que somar cada quantidade de trabalho produzida pela força em um deslocamento infinitesimal. Assim podemos integrar a força em relação ao deslocamento^[13]:

W=∫abf(x)dx{displaystyle W=int _{a}^{b}f(x)dx}

onde f(x){displaystyle f(x)} é a força em função da posição, e dx{displaystyle dx} representa um deslocamento infinitesimal. Com base nas definições de integral, fica claro que esta integral representa a soma de cada trabalho exercido por uma força em deslocamentos infinitesimais.

Exemplo |

Suponhamos que para mover uma partícula se aplica uma força dada pela função^[14]

f(x)=x2+2x{displaystyle f(x)=x^{2}+2x}

onde x{displaystyle x} é a posição da partícula. Para calcularmos o trabalho realizado ao mover a partícula da posição x=1{displaystyle x=1} até à posição x=3,{displaystyle x=3,} integramos a função em relação à posição:

W=∫13(x2+2x)dx=x33+x2|13=503{displaystyle W=int _{1}^{3}(x^{2}+2x)dx={frac {x^{3}}{3}}+x^{2}{Biggr |}_{1}^{3}={frac {50}{3}}}

Integrais em coordenadas polares |

A integral pode ser generalizada para funções polares considerando funções polares em escada assim como na integral de funções em coordenadas cartesianas^[15]. Definindo uma função polar f{displaystyle f} e duas funções polares em escada s{displaystyle s} e t{displaystyle t} que dividem a área sob f{displaystyle f} em n{displaystyle n} subintervalos abertos (θk−1,θk){displaystyle (theta _{k-1},theta _{k})} tal que s<f<t,{displaystyle s<f<t,} temos cada subintervalo de s{displaystyle s} como um arco de circunferência de raio sk{displaystyle s_{k}} e de ângulo θk−θk−1{displaystyle theta _{k}-theta _{k-1}}radianos (o mesmo para tk{displaystyle t_{k}}). Através da equação do arco de circunferência^[16], temos que a área de cada subintervalo de s{displaystyle s} é dada por

12(θk−θk−1)sk2{displaystyle {frac {1}{2}}(theta _{k}-theta _{k-1})s_{k}^{2}}

e de t{displaystyle t} por

12(θk−θk−1)tk2{displaystyle {frac {1}{2}}(theta _{k}-theta _{k-1})t_{k}^{2}}

Logo, as áreas sob s{displaystyle s} e t{displaystyle t} são dadas pelo somatório da área de cada subintervalo, o que é dado pelas integrais

a(S)=12∫abs2(θ)dθ{displaystyle a(S)={frac {1}{2}}int _{a}^{b}s^{2}(theta )dtheta }

a(T)=12∫abt2(θ)dθ{displaystyle a(T)={frac {1}{2}}int _{a}^{b}t^{2}(theta )dtheta }

Em que dθ{displaystyle dtheta } representa um intervalo (θk−θk−1){displaystyle (theta _{k}-theta _{k-1})} infinitesimal. Por conseguinte temos as desigualdades

∫abs2(θ)dθ≤2a(F)≤∫abf2(θ)dθ{displaystyle int _{a}^{b}s^{2}(theta )dtheta leq 2a(F)leq int _{a}^{b}f^{2}(theta )dtheta }

Logo

a(F)=12∫abf2(θ)dθ{displaystyle a(F)={frac {1}{2}}int _{a}^{b}f^{2}(theta )dtheta }

E esta é a definição da integral de uma função polar.

Definições de integral |

Para definições do processo de integração mais rigorosas veja os links abaixo:

• Integral de Riemann


• Integral de Lebesgue


• Integral de Riemann-Stieltjes


• Integral de Henstock–Kurzweil ou integral de Gauge

Notas |

Referências

Ver também |

• Derivada


• Tábua de integrais


• Primitiva


• Integração numérica


• Métodos de integração


• Integral múltipla

v • e Funções
Tipos	Analítica • Bijetora • Convexa • Divisor • Elementar • Exponencial • Fatorial • Identidade • Inclusão • Inteira • Inversa • Iterada • Limitada • Integral de Tchebychev • Logaritmo • Logaritmo natural • Monótona • Parcial • Polinomial • Retangular • Simples • Sinal • Sobrejetora • Suave
Trigonométricas	Seno • Cosseno • Tangente • Cotangente • Secante • Cossecante
Hiperbólicas	Seno hiperbólico • Cosseno hiperbólico • Tangente hiperbólica • Cotangente hiperbólica • Secante hiperbólica • Cossecante hiperbólica
Famosas	Ackermann • Bessel • Dirichlet • Gama • Heaviside • Mertens • Möbius • Weierstrass
Conceitos	Assimptota/Assíntota • Curva • Derivada • Espaço funcional • Espaço Lp • Gráficos • Integral • Limite • Injectividade • Parte inteira • Primitiva • Projeção • Reta
Funções em economia	Demanda • Oferta • Utilidade