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.mw-parser-output table.ambox{margin:0 10%;border-collapse:collapse;background:#fbfbfb;border:1px solid #aaa;border-left:10px solid #608ec2}.mw-parser-output table.ambox th.ambox-text,.mw-parser-output table.ambox td.ambox-text{padding:.25em .5em;width:100%}.mw-parser-output table.ambox td.ambox-image{padding:2px 0 2px .5em;text-align:center;vertical-align:middle}.mw-parser-output table.ambox td.ambox-imageright{padding:2px 4px 2px 0;text-align:center;vertical-align:middle}.mw-parser-output table.ambox-notice{border-left:10px solid #608ec2}.mw-parser-output table.ambox-delete,.mw-parser-output table.ambox-serious{border-left:10px solid #b22222}.mw-parser-output table.ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output table.ambox-style{border-left:10px solid #f4c430}.mw-parser-output table.ambox-merge{border-left:10px solid #9932cc}.mw-parser-output table.ambox-protection{border-left:10px solid #bba}.mw-parser-output .ambox+.ambox,.mw-parser-output .topbox+.ambox,.mw-pars...

1 $begingroup$ Denote $langle x-2rangle$ as the principal ideal generated by $x-2$ in the polynomial ring $mathbb R[x]$ . $[x+langle x-2rangle]$ and $[2+langle x-2rangle]$ are elements of the quotient ring $mathbb R[x]/langle x-2rangle$ , which happens to be a field because $x-2$ is monic irreducible in $mathbb R[x]$ (and the Proposition here). Here is what I tried: Let us take an element in one side and show it is in the other side. One of the elements in $[x+langle x-2rangle]$ is $x+x(x-2)$ . Now we must find $q in mathbb R[x]$ such that $$x+x(x-2) = 2+q(x-2)$$ And it is $q(x)=x+1$ by solving for $q$ . In general for $x+r(x-2)$ and $r in mathbb R[x]$ , $q=r+1$ . Right to left is similar. Is that correct? And then in general, to show $$[a+langle x-2rangle] = [b+langle x-2rangle]$$ ...