Xrfgtjtk

Ett Lp{displaystyle L^{p}}-rum är ett funktionsrum inom matematik. Lp{displaystyle L^{p}}-rummet består av funktioner som är p-integrerbara. Man behöver Lp{displaystyle L^{p}}-rummet till exempel inom måtteori och funktionalanalys.

Formell definition |

Lp{displaystyle L^{p}}-rummet är en måtteoretisk konstruktion och man kan bara definiera det för måttrum.

Låt 1≤p<∞{displaystyle 1leq p<infty } och (X,F,μ){displaystyle (X,{mathcal {F}},mu )} vara ett måttrum så att måttet µ är ett fullständigt mått. Man behöver fullständighet här eftersom man vill integrera alla delmängder för en nollmängd.

För mätbara funktioner f:X→R¯{displaystyle f:Xrightarrow {overline {mathbb {R} }}} definierar man Lp{displaystyle L^{p}}-normen

‖f‖p:=(∫X|f|pdμ)1/p{displaystyle |f|_{p}:=left(int _{X}|f|^{p},dmu right)^{1/p}},

dvs Lp{displaystyle L^{p}}-normen är en p-rot av måttintegralen för funktionen |f|p{displaystyle |f|^{p}}. För p=∞{displaystyle p=infty } definieras L∞{displaystyle L^{infty }}-normen:

‖f‖∞:=ess sup|f|{displaystyle |f|_{infty }:={mbox{ess sup}},|f|},

där ess sup är väsentligt supremum.

Lp{displaystyle L^{p}}-normen, med 1≤p≤∞{displaystyle 1leq pleq infty }, är inte en norm för alla mätbara funktioner. Men man kan definiera ett rum där det är en norm. Lp{displaystyle {mathcal {L}}^{p}}-rummet, för ett fixt p, är mängden:

Lp=Lp(X,F,μ):={f:‖f‖p<∞}{displaystyle {mathcal {L}}^{p}={mathcal {L}}^{p}(X,{mathcal {F}},mu ):={f:|f|_{p}<infty }}.

Lp{displaystyle {mathcal {L}}^{p}}-rummet är ett vektorrum. Eftersom man har definierat Lp{displaystyle L^{p}}-rummet utifrån en måttstruktur så är Lp{displaystyle {mathcal {L}}^{p}}-normen bara en seminorm, dvs

‖f+g‖p≤‖f‖p+‖g‖p{displaystyle |f+g|_{p}leq |f|_{p}+|g|_{p}}

och

‖af‖p=|a|‖f‖p{displaystyle |af|_{p}=|a||f|_{p}}

för f,g∈Lp{displaystyle f,gin {mathcal {L}}^{p},} och a∈R{displaystyle ain mathbb {R} } men det finns måttrum och funktioner där

‖f‖p=0{displaystyle |f|_{p}=0} men f≠0{displaystyle fneq 0}

gäller, exempelvis om man tar den vanliga måttstrukturen på de reella talen, med Borelalgebran som sigma-algebra och Lebesguemåttet som mått, då f=χN{displaystyle f=chi _{mathbb {N} },} är ett exempel på en funktion som är nollskild men har en norm som är noll. Detta visar att Lp{displaystyle L^{p}}-normen inte är en norm på detta rum.

För att få en riktig norm definierar man en ekvivalensrelation i Lp{displaystyle {mathcal {L}}^{p}} genom att

f∼g{displaystyle fsim g,} om och endast om ‖f−g‖p=0{displaystyle |f-g|_{p}=0}

och definiera Lp{displaystyle L^{p}}-normen för ekvivalensklasser

‖f∼‖p:=‖f‖p{displaystyle |f^{sim }|_{p}:=|f|_{p}}

där f∼{displaystyle f^{sim }} är ekvivalensklassen med representant f:

f∼:={g∈Lp:f∼g}.{displaystyle f^{sim }:={gin {mathcal {L}}^{p}:fsim g}.}

Kvotrummet Lp=Lp/∼{displaystyle L^{p}={mathcal {L}}^{p}/sim } med Lp{displaystyle L^{p}}-normen kallas för Lp{displaystyle L^{p}}-rummet. I rummet Lp{displaystyle L^{p}} identifieras funktioner f och g vars skillnad f - g har en norm som är noll. Exempelvis, från exemplet ovan, identifieras f=χN{displaystyle f=chi _{mathbb {N} },} med funktionen g = 0.

ℓp{displaystyle ell ^{p}}-rum |

Som ett specialfall av Lp{displaystyle L^{p}}-rum kan man få de så kallade ℓp{displaystyle ell ^{p}}-rummen. Om X är uppräknelig och måttet µ är räknemåttet betecknas

ℓp:=Lp{displaystyle ell ^{p}:=L^{p},},

så att för 1≤p<∞{displaystyle 1leq p<infty ,}

ℓp={(xi)i=1∞:∑i=1∞|xi|p<∞},{displaystyle ell ^{p}=left{(x_{i})_{i=1}^{infty }:sum _{i=1}^{infty }|x_{i}|^{p}<infty right},}

dvs, ℓp{displaystyle ell _{p}} kan ses som alla följder i X så att summan av termerna upphöjt till p konvergerar.

Man får också:

ℓ∞={(xi)i=1∞:supi∈N|xi|<∞}.{displaystyle ell ^{infty }=left{(x_{i})_{i=1}^{infty }:sup _{iin mathbb {N} }|x_{i}|<infty right}.}

dvs, ℓ∞{displaystyle ell ^{infty }}-rummet är rummet av alla begränsade följder.

Egenskaper |

Nedan finns några egenskaper för Lp{displaystyle L^{p}}-rummen och normerna.

Olikheter |

Hölders olikhet: om p>1{displaystyle p>1,} och q>1{displaystyle q>1,} med

1p+1q=1{displaystyle {frac {1}{p}}+{frac {1}{q}}=1,},

och f∈Lp{displaystyle fin L^{p}} och g∈Lq{displaystyle gin L^{q}} så är

‖fg‖1≤‖f‖p‖g‖q{displaystyle |fg|_{1}leq |f|_{p}|g|_{q}}.

Om p=1{displaystyle p=1,} och q=∞{displaystyle q=infty } så är

‖fg‖1≤‖f‖1‖g‖∞{displaystyle |fg|_{1}leq |f|_{1}{|g|}_{infty }}.

Talen p och q kallas för Hölderkonjugat.

Minkowskis olikhet: Man kallar ofta triangelolikheten

‖f+g‖p≤‖f‖p+‖g‖p{displaystyle |f+g|_{p}leq |f|_{p}+|g|_{p}}

när f,g∈Lp{displaystyle f,gin L^{p},} för Minkowskis olikhet.

Dualrummet |

Om p och q är Hölderkonjugat så är Lp{displaystyle L^{p},}:s dualrummet (Lp)∗{displaystyle (L^{p})^{*},} isomorf till Lq{displaystyle L^{q},}, dvs

(Lp)∗≅Lq{displaystyle (L^{p})^{*}cong L^{q},}.

Därför säger man ofta att Lp{displaystyle L^{p}}:s dualrum är Lq{displaystyle L^{q}}.

Notera att det finns måttrum där (L∞)∗{displaystyle (L^{infty })^{*},} inte är isomorf med L1{displaystyle L^{1},}.

Se även |

• Lebesgueintegration


• Funktionalanalys


• Måtteori


• Fouriertransform


• Tb-sats

Referenser |

• W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1991


• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950


• M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953


• R. M. Dudley, Real Analysis and Probability, Cambridge University Press, 2002


• G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley, 1984


• https://web.archive.org/web/20131111192546/https://www.doria.fi/bitstream/handle/10024/2842/avaruude.pdf?sequence=1

Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.