Limites iterados
Em cálculo com múltiplas variáveis, os limites iterados são apresentados como expressões do tipo limx→a(limy→bf(x,y)).{displaystyle {underset {xrightarrow a}{lim }}left({underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y)right).}
Temos, assim, uma expressão cujo valor depende de, ao menos, duas variáveis. Tomando o limite em relação a uma dessas variáveis, ou seja, tomando g(x):=limy→bf(x,y){displaystyle g(x):={underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y)}
Essa definição difere da expressão lim(x,y)→(a,b)f(x,y){displaystyle {underset {(x,y)rightarrow (a,b)}{lim }}f(x,y)}
Deve-se considerar que, em geral, os três limites acima (os dois iterados e o duplo) não levam a resultados comuns, ou seja, em geral
limx→a(limy→bf(x,y))≠limy→b(limx→af(x,y))≠lim(x,y)→(a,b)f(x,y){displaystyle {underset {xrightarrow a}{lim }}left({underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y)right)neq {underset {yrightarrow b}{lim }}left({underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y)right)neq {underset {(x,y)rightarrow (a,b)}{lim }}f(x,y)}
Exemplos e condições nos quais as trocas de ordem dos operadores de limite são aceitas serão analisados nas seções seguintes.
Índice
1 Definição formal
2 Exemplos
3 Troca da ordem dos operadores de limite
3.1 Proposição
3.2 Teorema do intercâmbio de limites
4 Referências
Definição formal |
Suponha A,B⊆M{displaystyle A,Bsubseteq M}
Exemplos |
Acima atentamos para o fato de que os limites iterados e duplo nem sempre tem resultados iguais. Aliás, pode-se adicionar o fato de que os limites iterados nem sempre existem. Abaixo seguem alguns exemplos de funções e o cálculo dos limites iterados relacionados a essas funções.
Sejam as funções abaixo definidas de forma que, f,g,h:A×B=(0,+∞)×(0,+∞)→ℜ{displaystyle f,g,h:Atimes B=(0,+infty )times (0,+infty )rightarrow Re }
(1) f(x,y)=x−y+x2+y2x+y{displaystyle f(x,y)={dfrac {x-y+x^{2}+y^{2}}{x+y}}}
Temos limx→0f(x,y)=y−1{displaystyle {underset {xrightarrow 0}{lim }}f(x,y)=y-1}
limy→0(limx→0f(x,y))=−1{displaystyle {underset {yrightarrow 0}{lim }}left({underset {xrightarrow 0}{lim }}f(x,y)right)=-1}
limy→0(limx→0f(x,y))≠limx→0(limy→0f(x,y)){displaystyle {underset {yrightarrow 0}{lim }}left({underset {xrightarrow 0}{lim }}f(x,y)right)neq {underset {xrightarrow 0}{lim }}left({underset {yrightarrow 0}{lim }}f(x,y)right)}
.
(2) g(x,y)=xsin1x+yx+y{displaystyle g(x,y)={dfrac {xsin {frac {1}{x}}+y}{x+y}}}
limx→0f(x,y)=1{displaystyle {underset {xrightarrow 0}{lim }}f(x,y)=1}
Mas, limy→0g(x,y)=sin1x{displaystyle {underset {yrightarrow 0}{lim }}g(x,y)=sin {frac {1}{x}}}
.
(3) h(x,y)=xsin1y{displaystyle h(x,y)=xsin {frac {1}{y}}}
Temos lim(x,y)→(0,0)h(x,y)=limy→0(limx→0h(x,y))=0{displaystyle {underset {(x,y)rightarrow (0,0)}{lim }}h(x,y)={underset {yrightarrow 0}{lim }}left({underset {xrightarrow 0}{lim }}h(x,y)right)=0}
Deve-se atentar ao fato de que os limites iterados nem sempre são iguais e, mesmo que sejam, isso não é condição suficiente para garantir que o limite duplo também o seja. Tomemos o seguinte exemplo,
(4) f(x,y)=xyx2+y2,{displaystyle f(x,y)={frac {xy}{x^{2}+y^{2}}},}
Oras, limy→0xyx2+y2=limx→0xyx2+y2=0{displaystyle lim _{yto 0}{frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=lim _{xto 0}{frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=0}
Mas o limite duplo em torno do caminho y=x{displaystyle y=x}
- lim((x,y)→(0,0):y=x)xyx2+y2=limx→0x2x2+x2=12.{displaystyle lim _{{Big (}(x,y)to (0,0),:,y=x{Big )}}{frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=lim _{xto 0}{frac {x^{2}}{x^{2}+x^{2}}}={frac {1}{2}}.}
Troca da ordem dos operadores de limite |
Já vimos que a operação de limites não é comutativa. Existem, contato, algumas condições que permitem a troca de operadores de limites.[2]
Proposição |
Seja f:A×B→M{displaystyle f:Atimes Brightarrow M}
(i) ∃lim(a,b)f(x,y)=α{displaystyle exists {underset {(a,b)}{lim }}f(x,y)=alpha }
(ii) para cada y∈B,∃limx→af(x,y)=g(y){displaystyle yin B,exists {underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y)=g(y)}
então ∃limy→bg(y)=α{displaystyle exists {underset {yrightarrow b}{lim }}g(y)=alpha }
DEMONSTRAÇÃO |
|---|
Como ∃lim(a,b)f(x,y)=α{displaystyle exists {underset {(a,b)}{lim }}f(x,y)=alpha } ∀ε>0,∃δ>0,∀(x,y)∈A×B{displaystyle forall varepsilon >0,exists delta >0,forall (x,y)in Atimes B} Usando o fato de que ∃limx→af(x,y)=g(y){displaystyle exists {underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y)=g(y)} Segue que ∀ε>0,∃δ>0,∀y∈B,y∈Bδ(b)∖{b}⇒d(g(y),α)<ε{displaystyle forall varepsilon >0,exists delta >0,forall yin B,yin B_{delta }(b)backslash {b}Rightarrow d(g(y),alpha )<varepsilon } |
Teorema do intercâmbio de limites |
Seja f:A×B→M{displaystyle f:Atimes Brightarrow M}
(i) ∃limx→af(x,y)=g(y){displaystyle exists {underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y)=g(y)}
(ii) limy→bf(x,y)=h(x){displaystyle {underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y)=h(x)}
então os três limites limx→alimy→bf(x,y),{displaystyle {underset {xrightarrow a}{lim }}{underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y),}
DEMONSTRAÇÃO |
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Seja ε>0{displaystyle varepsilon >0} De (ii) temos, pela definição (1) ∃δ>0,∀y∈B:0<d2(y,b)<δ⇒∀x∈A:d(f(x,y),h(x))<ε6.{displaystyle exists delta >0,forall yin B:0<d_{2}(y,b)<delta Rightarrow forall xin A:d(f(x,y),h(x))<{frac {varepsilon }{6}}.} Seja y∗∈Bδ(b)∖{b}{displaystyle y^{ast }in B_{delta }(b)backslash {b}} (2) ∃δ∗>0,∀x∈A:0<d1(x,a)<δ∗⇒d(f(x,y∗),g(y∗))<ε6.{displaystyle exists delta ^{ast }>0,forall xin A:0<d_{1}(x,a)<delta ^{ast }Rightarrow d(f(x,y^{ast }),g(y^{ast }))<{frac {varepsilon }{6}}.} Seja a vizinhança do ponto (a,b){displaystyle (a,b)} V=Bδ∗(a)×Bδ(b){displaystyle V=B_{delta ^{ast }}(a)times B_{delta }(b)} Da desigualdade triangular segue d(f(x1,y1),f(x2,y2))≤d(f(x1,y1),h(x1))+d(h(x1),f(x1,y∗))+{displaystyle d(f(x_{1},y_{1}),f(x_{2},y_{2}))leq d(f(x_{1},y_{1}),h(x_{1}))+d(h(x_{1}),f(x_{1},y^{ast }))+} Por (1) e (2), cada termo do lado direito da desigualdade são menores que ε6.{displaystyle {frac {varepsilon }{6}}.} Decorre disso que ∀(x1,y1)∈A×B,∀(x2,y2)∈A×B:{displaystyle forall (x_{1},y_{1})in Atimes B,forall (x_{2},y_{2})in Atimes B:} Da proposição anterior, junto com (i), segue limy→bg(y)=α=limy→b(limx→af(x,y)){displaystyle {underset {yrightarrow b}{lim }}g(y)=alpha ={underset {yrightarrow b}{lim }}({underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y))} |
Referências
↑ Stewart, James (2008). «Capítulo 15.2 Limites e Continuidade». Cálculo Multivariável 6ª ed. [S.l.: s.n.] ISBN 0495011630
↑ Zoran Kadelburg; Milosav M. Marjanovi´ (2005). «Interchanging Two Limits» (PDF). THE TEACHING OF MATHEMATICS. VIII: 15-29. Consultado em 14 de dezembro de 2014 A referência emprega parâmetros obsoletos|coautores=(ajuda)
