Limites iterados




Em cálculo com múltiplas variáveis, os limites iterados são apresentados como expressões do tipo limx→a(limy→bf(x,y)).{displaystyle {underset {xrightarrow a}{lim }}left({underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y)right).}{underset {xrightarrow a}{lim }}left({underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y)right).


Temos, assim, uma expressão cujo valor depende de, ao menos, duas variáveis. Tomando o limite em relação a uma dessas variáveis, ou seja, tomando g(x):=limy→bf(x,y){displaystyle g(x):={underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y)}g(x):={underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y), nos aproximamos de uma expressão cujo valor depende apenas da outra e, então, tomando o limite em relação a essa outra variável, limx→ag(x){displaystyle {underset {xrightarrow a}{lim }}g(x)}{underset {xrightarrow a}{lim }}g(x), nos aproximamos de um número, que representa um dos limites iterados para essas variáveis. O outro limite iterado é dado por limy→b(limx→af(x,y)){displaystyle {underset {yrightarrow b}{lim }}left({underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y)right)}{underset {yrightarrow b}{lim }}left({underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y)right).


Essa definição difere da expressão lim(x,y)→(a,b)f(x,y){displaystyle {underset {(x,y)rightarrow (a,b)}{lim }}f(x,y)}{underset {(x,y)rightarrow (a,b)}{lim }}f(x,y), que não é um limite iterado, mas sim um Limite Duplo. Nesse caso, o significado da expressão é que o limite da função de mais de uma variável f(x,y){displaystyle f(x,y)}f(x,y) se aproxima tanto de um determinado número L tanto quanto aproximamos (x,y){displaystyle (x,y)}(x,y) do ponto (a,b){displaystyle (a,b)}(a,b). Ou seja, não envolve tomar um limite e, então, o outro, mas sim analisar o comportamento da função em torno do ponto desejado por vários caminhos.


Deve-se considerar que, em geral, os três limites acima (os dois iterados e o duplo) não levam a resultados comuns, ou seja, em geral


limx→a(limy→bf(x,y))≠limy→b(limx→af(x,y))≠lim(x,y)→(a,b)f(x,y){displaystyle {underset {xrightarrow a}{lim }}left({underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y)right)neq {underset {yrightarrow b}{lim }}left({underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y)right)neq {underset {(x,y)rightarrow (a,b)}{lim }}f(x,y)}{underset {xrightarrow a}{lim }}left({underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y)right)neq {underset {yrightarrow b}{lim }}left({underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y)right)neq {underset {(x,y)rightarrow (a,b)}{lim }}f(x,y).


Exemplos e condições nos quais as trocas de ordem dos operadores de limite são aceitas serão analisados nas seções seguintes.




Índice






  • 1 Definição formal


  • 2 Exemplos


  • 3 Troca da ordem dos operadores de limite


    • 3.1 Proposição


    • 3.2 Teorema do intercâmbio de limites




  • 4 Referências





Definição formal |


Suponha A,B⊆M{displaystyle A,Bsubseteq M}A,Bsubseteq M, onde M{displaystyle M}M é um espaço métrico completo e, ainda a∈A′{displaystyle ain A^{prime }}ain A^{{prime }} e b∈B′{displaystyle bin B^{prime }}bin B^{{prime }}, onde A′{displaystyle A^{prime }}A^{{prime }} e B′{displaystyle B^{prime }}B^{{prime }} são os conjuntos de pontos de acumulação de A{displaystyle A}A e B{displaystyle B}B, respectivamente. Sejam, então, g(x):=limy→bf(x,y){displaystyle g(x):={underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y)}g(x):={underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y) e h(y):=limx→af(x,y){displaystyle h(y):={underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y)}h(y):={underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y), chamamos de limites iterados as expressões limx→ag(x)=limx→a(limy→bf(x,y)){displaystyle {underset {xrightarrow a}{lim }}g(x)={underset {xrightarrow a}{lim }}left({underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y)right)}{underset {xrightarrow a}{lim }}g(x)={underset {xrightarrow a}{lim }}left({underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y)right) e limy→bh(y)=limy→b(limx→af(x,y)){displaystyle {underset {yrightarrow b}{lim }}h(y)={underset {yrightarrow b}{lim }}left({underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y)right)}{underset {yrightarrow b}{lim }}h(y)={underset {yrightarrow b}{lim }}left({underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y)right). Chamamos, ainda, de limite duplo a expressão lim(x,y)→(a,b)f(x,y).{displaystyle {underset {(x,y)rightarrow (a,b)}{lim }}f(x,y).}{underset {(x,y)rightarrow (a,b)}{lim }}f(x,y).



Exemplos |


Acima atentamos para o fato de que os limites iterados e duplo nem sempre tem resultados iguais. Aliás, pode-se adicionar o fato de que os limites iterados nem sempre existem. Abaixo seguem alguns exemplos de funções e o cálculo dos limites iterados relacionados a essas funções.


Sejam as funções abaixo definidas de forma que, f,g,h:A×B=(0,+∞)×(0,+∞)→ℜ{displaystyle f,g,h:Atimes B=(0,+infty )times (0,+infty )rightarrow Re }f,g,h:Atimes B=(0,+infty )times (0,+infty )rightarrow Re ,


(1) f(x,y)=x−y+x2+y2x+y{displaystyle f(x,y)={dfrac {x-y+x^{2}+y^{2}}{x+y}}}f(x,y)={dfrac {x-y+x^{{2}}+y^{{2}}}{x+y}}


Temos limx→0f(x,y)=y−1{displaystyle {underset {xrightarrow 0}{lim }}f(x,y)=y-1}{underset {xrightarrow 0}{lim }}f(x,y)=y-1 e limy→0f(x,y)=x+1{displaystyle {underset {yrightarrow 0}{lim }}f(x,y)=x+1}{underset {yrightarrow 0}{lim }}f(x,y)=x+1, de onde segue


limy→0(limx→0f(x,y))=−1{displaystyle {underset {yrightarrow 0}{lim }}left({underset {xrightarrow 0}{lim }}f(x,y)right)=-1}{underset {yrightarrow 0}{lim }}left({underset {xrightarrow 0}{lim }}f(x,y)right)=-1 e limx→0(limy→0f(x,y))=1{displaystyle {underset {xrightarrow 0}{lim }}left({underset {yrightarrow 0}{lim }}f(x,y)right)=1}{underset {xrightarrow 0}{lim }}left({underset {yrightarrow 0}{lim }}f(x,y)right)=1, ou seja


limy→0(limx→0f(x,y))≠limx→0(limy→0f(x,y)){displaystyle {underset {yrightarrow 0}{lim }}left({underset {xrightarrow 0}{lim }}f(x,y)right)neq {underset {xrightarrow 0}{lim }}left({underset {yrightarrow 0}{lim }}f(x,y)right)}{underset {yrightarrow 0}{lim }}left({underset {xrightarrow 0}{lim }}f(x,y)right)neq {underset {xrightarrow 0}{lim }}left({underset {yrightarrow 0}{lim }}f(x,y)right).


.


(2) g(x,y)=xsin⁡1x+yx+y{displaystyle g(x,y)={dfrac {xsin {frac {1}{x}}+y}{x+y}}}g(x,y)={dfrac {xsin {frac {1}{x}}+y}{x+y}}


limx→0f(x,y)=1{displaystyle {underset {xrightarrow 0}{lim }}f(x,y)=1}{underset {xrightarrow 0}{lim }}f(x,y)=1, de onde limy→0%(limx→0g(x,y))=1{displaystyle {underset {yrightarrow 0%}{lim }}left({underset {xrightarrow 0}{lim }}g(x,y)right)=1}{displaystyle {underset {yrightarrow 0%}{lim }}left({underset {xrightarrow 0}{lim }}g(x,y)right)=1}.


Mas, limy→0g(x,y)=sin⁡1x{displaystyle {underset {yrightarrow 0}{lim }}g(x,y)=sin {frac {1}{x}}}{underset {yrightarrow 0}{lim }}g(x,y)=sin {frac {1}{x}} e, portanto, ∄limx→0(limy→0g(x,y)){displaystyle nexists {underset {xrightarrow 0}{lim }}left({underset {yrightarrow 0}{lim }}g(x,y)right)}nexists {underset {xrightarrow 0}{lim }}left({underset {yrightarrow 0}{lim }}g(x,y)right).


.


(3) h(x,y)=xsin⁡1y{displaystyle h(x,y)=xsin {frac {1}{y}}}h(x,y)=xsin {frac {1}{y}}, 0≤|xsin⁡1y|≤|x|{displaystyle 0leq leftvert xsin {frac {1}{y}}rightvert leq leftvert xrightvert }0leq leftvert xsin {frac {1}{y}}rightvert leq leftvert xrightvert


Temos lim(x,y)→(0,0)h(x,y)=limy→0(limx→0h(x,y))=0{displaystyle {underset {(x,y)rightarrow (0,0)}{lim }}h(x,y)={underset {yrightarrow 0}{lim }}left({underset {xrightarrow 0}{lim }}h(x,y)right)=0}{underset {(x,y)rightarrow (0,0)}{lim }}h(x,y)={underset {yrightarrow 0}{lim }}left({underset {xrightarrow 0}{lim }}h(x,y)right)=0, mas ∄limx→0(limy→0y(x,y)){displaystyle nexists {underset {xrightarrow 0}{lim }}left({underset {yrightarrow 0}{lim }}y(x,y)right)}nexists {underset {xrightarrow 0}{lim }}left({underset {yrightarrow 0}{lim }}y(x,y)right).


Deve-se atentar ao fato de que os limites iterados nem sempre são iguais e, mesmo que sejam, isso não é condição suficiente para garantir que o limite duplo também o seja. Tomemos o seguinte exemplo,


(4) f(x,y)=xyx2+y2,{displaystyle f(x,y)={frac {xy}{x^{2}+y^{2}}},}f(x,y)={frac {xy}{x^{2}+y^{2}}},[1]



Oras, limy→0xyx2+y2=limx→0xyx2+y2=0{displaystyle lim _{yto 0}{frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=lim _{xto 0}{frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=0}lim _{{yto 0}}{frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=lim _{{xto 0}}{frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=0, logo limx→0(limy→0xyx2+y2)=limy→0(limx→0xyx2+y2)=0{displaystyle lim _{xto 0}left(lim _{yto 0}{frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}right)=lim _{yto 0}left(lim _{xto 0}{frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}right)=0}lim _{{xto 0}}left(lim _{{yto 0}}{frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}right)=lim _{{yto 0}}left(lim _{{xto 0}}{frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}right)=0


Mas o limite duplo em torno do caminho y=x{displaystyle y=x}y=x é dado por,


lim((x,y)→(0,0):y=x)xyx2+y2=limx→0x2x2+x2=12.{displaystyle lim _{{Big (}(x,y)to (0,0),:,y=x{Big )}}{frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=lim _{xto 0}{frac {x^{2}}{x^{2}+x^{2}}}={frac {1}{2}}.}lim _{{{Big (}(x,y)to (0,0),:,y=x{Big )}}}{frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=lim _{{xto 0}}{frac {x^{2}}{x^{2}+x^{2}}}={frac 12}.


Troca da ordem dos operadores de limite |


Já vimos que a operação de limites não é comutativa. Existem, contato, algumas condições que permitem a troca de operadores de limites.[2]



Proposição |


Seja f:A×B→M{displaystyle f:Atimes Brightarrow M}f:Atimes Brightarrow M uma função de um subconjunto A×B⊂M1×M2{displaystyle Atimes Bsubset M_{1}times M_{2}}Atimes Bsubset M_{{1}}times M_{{2}} em M{displaystyle M}M e (a,b)∈A′×B′{displaystyle (a,b)in A^{prime }times B^{prime }}(a,b)in A^{{prime }}times B^{{prime }}, onde M1,M2,M{displaystyle M_{1},M_{2},M}M_{{1}},M_{{2}},M são espaços métricos. Se


(i) ∃lim(a,b)f(x,y)=α{displaystyle exists {underset {(a,b)}{lim }}f(x,y)=alpha }exists {underset {(a,b)}{lim }}f(x,y)=alpha


(ii) para cada y∈B,∃limx→af(x,y)=g(y){displaystyle yin B,exists {underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y)=g(y)}yin B,exists {underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y)=g(y)


então ∃limy→bg(y)=α{displaystyle exists {underset {yrightarrow b}{lim }}g(y)=alpha }exists {underset {yrightarrow b}{lim }}g(y)=alpha .







DEMONSTRAÇÃO

Como ∃lim(a,b)f(x,y)=α{displaystyle exists {underset {(a,b)}{lim }}f(x,y)=alpha }exists {underset {(a,b)}{lim }}f(x,y)=alpha , então, da definição,


∀ε>0,∃δ>0,∀(x,y)∈A×B{displaystyle forall varepsilon >0,exists delta >0,forall (x,y)in Atimes B}forall varepsilon >0,exists delta >0,forall (x,y)in Atimes B, (x,y)∈Bδ(a)×Bδ(b)∖{(a,b)}⇒d(f(x,y),α)=|f(x,y)−α|<ε2{displaystyle (x,y)in B_{delta }(a)times B_{delta }(b)backslash {(a,b)}Rightarrow d(f(x,y),alpha )=leftvert f(x,y)-alpha rightvert <{frac {varepsilon }{2}}}(x,y)in B_{{delta }}(a)times B_{{delta }}(b)backslash {(a,b)}Rightarrow d(f(x,y),alpha )=leftvert f(x,y)-alpha rightvert <{frac {varepsilon }{2}}.


Usando o fato de que ∃limx→af(x,y)=g(y){displaystyle exists {underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y)=g(y)}exists {underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y)=g(y) e a continuidade da função norma, então ∃limx→ad(f(x,y),α)=d(g(y),α)≤ε2{displaystyle exists {underset {xrightarrow a}{lim }}d(f(x,y),alpha )=d(g(y),alpha )leq {frac {varepsilon }{2}}}exists {underset {xrightarrow a}{lim }}d(f(x,y),alpha )=d(g(y),alpha )leq {frac {varepsilon }{2}}.


Segue que ∀ε>0,∃δ>0,∀y∈B,y∈Bδ(b)∖{b}⇒d(g(y),α)<ε{displaystyle forall varepsilon >0,exists delta >0,forall yin B,yin B_{delta }(b)backslash {b}Rightarrow d(g(y),alpha )<varepsilon }forall varepsilon >0,exists delta >0,forall yin B,yin B_{{delta }}(b)backslash {b}Rightarrow d(g(y),alpha )<varepsilon , de modo que limy→bg(y)=α{displaystyle {underset {yrightarrow b}{lim }}g(y)=alpha }{underset {yrightarrow b}{lim }}g(y)=alpha .





Teorema do intercâmbio de limites |


Seja f:A×B→M{displaystyle f:Atimes Brightarrow M}f:Atimes Brightarrow M uma função em um espaço métrico completo, onde A{displaystyle A}A e B{displaystyle B}B são subconjuntos dos espaços métricos M1{displaystyle M_{1}}M_{{1}} e M2{displaystyle M_{2}}M_{{2}}, respectivamente, e seja a∈A′∖A,b∈B′∖B{displaystyle ain A^{prime }backslash A,bin B^{prime }backslash B}ain A^{{prime }}backslash A,bin B^{{prime }}backslash B. Se


(i) ∃limx→af(x,y)=g(y){displaystyle exists {underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y)=g(y)}exists {underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y)=g(y),∀y∈B{displaystyle forall yin B}forall yin B


(ii) limy→bf(x,y)=h(x){displaystyle {underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y)=h(x)}{underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y)=h(x) existe uniformemente em x∈A{displaystyle xin A}xin A


então os três limites limx→alimy→bf(x,y),{displaystyle {underset {xrightarrow a}{lim }}{underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y),}{underset {xrightarrow a}{lim }}{underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y), limy→blimx→af(x,y),lim(a,b)f(x,y){displaystyle {underset {yrightarrow b}{lim }}{underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y),{underset {(a,b)}{lim }}f(x,y)}{underset {yrightarrow b}{lim }}{underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y),{underset {(a,b)}{lim }}f(x,y) existem e são iguais.







DEMONSTRAÇÃO

Seja ε>0{displaystyle varepsilon >0}varepsilon >0 arbitrário.


De (ii) temos, pela definição


(1) ∃δ>0,∀y∈B:0<d2(y,b)<δ⇒∀x∈A:d(f(x,y),h(x))<ε6.{displaystyle exists delta >0,forall yin B:0<d_{2}(y,b)<delta Rightarrow forall xin A:d(f(x,y),h(x))<{frac {varepsilon }{6}}.}exists delta >0,forall yin B:0<d_{{2}}(y,b)<delta Rightarrow forall xin A:d(f(x,y),h(x))<{frac {varepsilon }{6}}.


Seja y∗∈Bδ(b)∖{b}{displaystyle y^{ast }in B_{delta }(b)backslash {b}}y^{{ast }}in B_{{delta }}(b)backslash {b}, usando (i), segue


(2) ∃δ∗>0,∀x∈A:0<d1(x,a)<δ∗⇒d(f(x,y∗),g(y∗))<ε6.{displaystyle exists delta ^{ast }>0,forall xin A:0<d_{1}(x,a)<delta ^{ast }Rightarrow d(f(x,y^{ast }),g(y^{ast }))<{frac {varepsilon }{6}}.}exists delta ^{{ast }}>0,forall xin A:0<d_{{1}}(x,a)<delta ^{{ast }}Rightarrow d(f(x,y^{{ast }}),g(y^{{ast }}))<{frac {varepsilon }{6}}.


Seja a vizinhança do ponto (a,b){displaystyle (a,b)}(a,b) dada na forma


V=Bδ∗(a)×Bδ(b){displaystyle V=B_{delta ^{ast }}(a)times B_{delta }(b)}V=B_{{delta ^{{ast }}}}(a)times B_{{delta }}(b) e sejam os pontos (x1,y1),(x2,y2)∈V∖{(a,b)}.{displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})in Vbackslash {(a,b)}.}(x_{{1}},y_{{1}}),(x_{{2}},y_{{2}})in Vbackslash {(a,b)}.


Da desigualdade triangular segue


d(f(x1,y1),f(x2,y2))≤d(f(x1,y1),h(x1))+d(h(x1),f(x1,y∗))+{displaystyle d(f(x_{1},y_{1}),f(x_{2},y_{2}))leq d(f(x_{1},y_{1}),h(x_{1}))+d(h(x_{1}),f(x_{1},y^{ast }))+}d(f(x_{{1}},y_{{1}}),f(x_{{2}},y_{{2}}))leq d(f(x_{{1}},y_{{1}}),h(x_{{1}}))+d(h(x_{{1}}),f(x_{{1}},y^{{ast }}))+d(f(x1,y∗),g(y∗))+d(g(y∗),f(x2,y∗))+d(f(x2,y∗),h(x2))+d(h(x2),f(x2,y2)){displaystyle d(f(x_{1},y^{ast }),g(y^{ast }))+d(g(y^{ast }),f(x_{2},y^{ast }))+d(f(x_{2},y^{ast }),h(x_{2}))+d(h(x_{2}),f(x_{2},y_{2}))}d(f(x_{{1}},y^{{ast }}),g(y^{{ast }}))+d(g(y^{{ast }}),f(x_{{2}},y^{{ast }}))+d(f(x_{{2}},y^{{ast }}),h(x_{{2}}))+d(h(x_{{2}}),f(x_{{2}},y_{{2}}))


Por (1) e (2), cada termo do lado direito da desigualdade são menores que ε6.{displaystyle {frac {varepsilon }{6}}.}{frac {varepsilon }{6}}.


Decorre disso que


∀(x1,y1)∈A×B,∀(x2,y2)∈A×B:{displaystyle forall (x_{1},y_{1})in Atimes B,forall (x_{2},y_{2})in Atimes B:}forall (x_{{1}},y_{{1}})in Atimes B,forall (x_{{2}},y_{{2}})in Atimes B: (x1,y1),(x2,y2)∈V∖{(a,b)}⇒d(f(x1,y1),f(x2,y2))<ε.{displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})in Vbackslash {(a,b)}Rightarrow d(f(x_{1},y_{1}),f(x_{2},y_{2}))<varepsilon .}(x_{{1}},y_{{1}}),(x_{{2}},y_{{2}})in Vbackslash {(a,b)}Rightarrow d(f(x_{{1}},y_{{1}}),f(x_{{2}},y_{{2}}))<varepsilon .
Assim, a função satisfaz o critério de Cauchy no ponto (a,b){displaystyle (a,b)}(a,b) e, como M{displaystyle M}M é um espaço métrico completo, existe lim(a,b)f(x,y)=α{displaystyle {underset {(a,b)}{lim }}f(x,y)=alpha }{underset {(a,b)}{lim }}f(x,y)=alpha .


Da proposição anterior, junto com (i), segue limy→bg(y)=α=limy→b(limx→af(x,y)){displaystyle {underset {yrightarrow b}{lim }}g(y)=alpha ={underset {yrightarrow b}{lim }}({underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y))}{underset {yrightarrow b}{lim }}g(y)=alpha ={underset {yrightarrow b}{lim }}({underset {xrightarrow a}{lim }}f(x,y)) e, com (ii) que limx→ah(x)=α=limx→a(limy→bf(x,y)){displaystyle {underset {xrightarrow a}{lim }}h(x)=alpha ={underset {xrightarrow a}{lim }}({underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y))}{underset {xrightarrow a}{lim }}h(x)=alpha ={underset {xrightarrow a}{lim }}({underset {yrightarrow b}{lim }}f(x,y)) . O que conclui a demonstração.





Referências




  1. ↑ Stewart, James (2008). «Capítulo 15.2 Limites e Continuidade». Cálculo Multivariável 6ª ed. [S.l.: s.n.] ISBN 0495011630 


  2. ↑ Zoran Kadelburg; Milosav M. Marjanovi´ (2005). «Interchanging Two Limits» (PDF). THE TEACHING OF MATHEMATICS. VIII: 15-29. Consultado em 14 de dezembro de 2014  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautores= (ajuda)








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