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 Nota: Se procura por conjunto fechado em relação a uma operação, veja Fechamento.

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Em matemática, em topologia, um conjunto diz-se fechado num espaço se o seu complementar for aberto.

Propriedades |

• Um conjunto X é fechado se e só se coincidir com o seu fecho, ou seja, se X=X¯{displaystyle X={overline {X}}}^[1]
  


• Um conjunto é fechado se e só se contém a sua fronteira.


• A união de um número finito de conjuntos fechados é um conjunto fechado.


• A intersecção de um número qualquer de conjuntos fechados é um conjunto fechado.


• Qualquer conjunto é fechado em si próprio.


• X é um conjunto fechado se, e somente se, o conjunto dos pontos de acumulação de X, denotado por X′{displaystyle X'}, chamado de derivado, estiver contido no próprio conjunto X, ou seja: X′⊆X{displaystyle X'subseteq X} (lê-se: o derivado está contido, é uma parte do conjunto X) ^[2].

Exemplos |

• Qualquer intervalo fechado é um conjunto fechado em R{displaystyle mathbb {R} } (com a topologia usual onde o conjunto dos intervalos abertos formam uma base de abertos para a topologia).


• 
  N{displaystyle mathbb {N} } e Z{displaystyle mathbb {Z} } são fechados em R{displaystyle mathbb {R} }.


• Na topologia induzida em (0,+∞){displaystyle (0,+infty ),} pela inclusão em R{displaystyle mathbb {R} }, o conjunto ]0,1], dos números reais maiores que zero e menores ou iguais a um, é fechado.


• Na topologia discreta, todo subconjunto é fechado.


• Se a topologia é Hausdorff, todo conjunto unitário (e, por indução, todo conjunto finito) é fechado.


• O conjunto dos números reais R{displaystyle mathbb {R} } é o complementar do conjunto aberto ∅{displaystyle varnothing }, e ∅{displaystyle varnothing } é o complementar do aberto R{displaystyle mathbb {R} }. Então, estes dois conjuntos são fechados e abertos ao mesmo tempo ^[3].


• Existem conjuntos que não são fechados nem abertos, como o conjunto Q{displaystyle mathbb {Q} } dos números racionais, o conjunto R−Q{displaystyle mathbb {R} -mathbb {Q} } ou um intervalo do tipo [a,b) ou (a,b] ^[4].

Definições alternativas |

Os axiomas de uma topologia podem ser equivalentemente formulados através de uma coleção de abertos (a definição usual) ou através de uma coleção de fechados. Neste segundo caso, abertos são definidos como complementos de fechados.

Outra definição, mais didática, é definir um aberto como um conjunto em que todo ponto é interior, um fechado com um conjunto que contém todos seus pontos de acumulação, e demonstrar o teorema que abertos e fechados são complementos.

Ver também |

• Conjunto perfeito

Referências

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