Xrfgtjtk

Exponentialfunktionen y=ex{displaystyle y=e^{x}}

Exponentialfunktioner är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ränta på ränta beräknas som

slutbeloppet=rx⋅startbeloppet{displaystyle slutbeloppet=r^{x}cdot startbeloppet}

där r^x är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är r (till exempel 1,10 för 10 % ränta) och x antalet år.

Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis

• f(x)=C⋅ekx{displaystyle f(x)=Ccdot mathrm {e} ^{kx}}


• f(x)=C⋅ax{displaystyle f(x)=Ccdot a^{x}}


• f(x)=ekx+a{displaystyle f(x)=mathrm {e} ^{kx+a}}

Då det talas om exponentialfunktionen (i bestämd form), avses funktionen f(x) = e^x (skrivs även som exp(x) i de flesta programspråk). ^[1]

Talet e är den naturliga logaritmens bas och har egenskapen att

f(x)=ex⇒f′(x)=f(x){displaystyle f(x)=mathrm {e} ^{x}quad Rightarrow quad f'(x)=f(x)}

det vill säga, exponentialfunktionen är sin egen derivata. Därför är det ofta lämpligt att skriva om exponentialfunktioner till basen e när de används exempelvis vid deriveringar eller i differentialekvationer.

Definition |

Det finns minst fem olika sätt att definiera exponentialfunktionen som en funktion vars definitionsmängd är de reella talen och vars värdemängd är de positiva reella talen:

1. Som en potensserie:
   

   ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x21⋅2+x31⋅2⋅3+x41⋅2⋅3⋅4+⋯;{displaystyle mathrm {e} ^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{frac {x^{2}}{1cdot 2}}+{frac {x^{3}}{1cdot 2cdot 3}}+{frac {x^{4}}{1cdot 2cdot 3cdot 4}}+cdots ;}

   
   


2. Som den unika lösningen till integralekvationen
   

   f(x)=1+∫0xf(y)dy;{displaystyle f(x)=1+int _{0}^{x}f(y),dy;}

   
   


3. Som talet e upphöjt till talet x
   


4. Som den inversa funktionen till den naturliga logaritmfunktionen


5. Som en gränsfunktion:
   

   ex=limn→∞(1+xn)n{displaystyle mathrm {e} ^{x}=lim _{nto infty }left(1+{frac {x}{n}}right)^{n}}

   
   

Definitionerna 1 och 5 kan generaliseras till att gälla mer abstrakta rum än de reella talen. Exempelvis kan en "exponentialfunktion" definieras i så kallade Banachalgebror; dessa är Banachrum med den extra strukturen att en produkt av två element i Banachrummet förblir ett element i Banachrummet.

Har man väl valt en av ovanstående framställningar som definition av exponentialfunktionen så kommer de övriga fyra att vara teorem om exponentialfunktionens egenskaper.

Derivator och differentialekvationer |

Exponentialfunktionens derivata är lika med funktionsvärdet. Från en godtycklig punkt P på kurvan (blå), bildar tangenten (röd) och en vertikal linje (grön) med höjden h, en rätvinklig triangel med basen b. Då tangentens lutning i P är h/b och derivatan är lika med funktionsvärdet h, måste b alltid vara lika med 1

Derivatan av en exponentialfunktion är också en exponentialfunktion, närmare bestämt är

ddxekx=kekx{displaystyle {d over dx}mathrm {e} ^{kx}=kmathrm {e} ^{kx},!}

eller allmänt

ddxakx=ln⁡(a)kakx{displaystyle {d over dx}a^{kx}=ln(a)k,a^{kx}}

Detta innebär att en differentialekvation av första ordningen

dydx+ay=0{displaystyle {dy over dx}+ay=0}

har lösningen

y=Ce−ax{displaystyle y=Cmathrm {e} ^{-ax}}

vilken kan användas för att beräkna radioaktiva ämnens sönderfallshastighet och en approximation av tillväxten av en population, då denna är så liten att medlemmarna i populationen inte konkurrerar nämnvärt med varandra om resurser.

Se vidare om differentialekvationer av första ordningen.

Exponentialfunktioner med reella argument |

Några egenskaper hos exponentialfunktioner när x är ett reellt tal:

• Exponentialfunktioner är strikt växande eller strikt avtagande.


• Exponentialfunktioner skär aldrig x-axeln – funktionsvärdet växlar aldrig tecken.

Exponentialfunktioner med komplexa argument |

En exponentialfunktion med ett komplext argument kan skrivas på formen

f(x)=C⋅e(a+bi)x{displaystyle f(x)=Ccdot mathrm {e} ^{(a+bmathrm {i} )x}}

som i sin tur kan skrivas på formen

f(x)=C⋅eax⋅ei⋅bx{displaystyle f(x)=Ccdot mathrm {e} ^{ax}cdot mathrm {e} ^{mathrm {i} cdot bx}}

De första två faktorerna beter sig som en reell exponentialfunktion, med eventuell anpassning för att C kan vara ett komplext tal, medan den sista faktorn bildar komplexvärd funktion.

Den komplexvärda faktorn kan beskrivas med sambandet

eix=cos⁡(x)+isin⁡(x){displaystyle mathrm {e} ^{mathrm {i} x}=cos(x)+mathrm {i} ,sin(x)}

Av detta följer också att exponentialfunktioner med rent imaginära argument ger en periodisk funktion enligt

ei(x+2π)=eix{displaystyle mathrm {e} ^{mathrm {i} (x+2pi )}=mathrm {e} ^{mathrm {i} x}}

Se även |

• Exponentiell avbildning


• Matrisexponential


• Potensfunktion

Referenser |

1. 
   ^ Kiselman, Christer; Mouwitz, Lars (2008). Matematiktermer för skolan. Nationellt Centrum för Matematikutbildning. sid. 143. ISBN 978-91-85143-12-2 
   

Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.