Triangel





För musikinstrumentet, se Triangel (musikinstrument).




En triangel är en tresidig polygon


Triangeln är en tresidig polygon och en av de grundläggande geometriska formerna. En triangel begränsas av tre räta linjer vars skärningpunkter bildar triangelns hörn.


Triangelns hörn betecknas vanligen med A, B, C och motsvarande vinklar med α,β,γ{displaystyle alpha ,beta ,gamma }alpha, beta, gamma. Triangeln kan refereras till som triangeln ABC eller betecknas △ABC{displaystyle triangle ABC}{displaystyle triangle ABC}.


Sidan a säges vara motstående sida till hörnet A och vinkeln α{displaystyle alpha }alpha. Hörnet A sägs vara motstående hörn till sidan a.


Semiperimetern är triangelns halva omkrets eller


 s=12(a+b+c){displaystyle s={frac {1}{2}}left(a+b+cright)} s = frac{1}{2}left(a+b+cright)

Artikeln behandlar trianglar i planet; trianglar på sfäriska och hyperboliska ytor har särskilda artiklar.




Innehåll






  • 1 Typer av trianglar


  • 2 Vinklar


    • 2.1 Vinkelsumma




  • 3 Höjder


  • 4 Bisektriser


    • 4.1 Bisektrisens längd


    • 4.2 Bisektrissatsen




  • 5 Medianer


  • 6 Area


    • 6.1 Med integral


    • 6.2 Med vektorer




  • 7 Samband mellan sidor och vinklar


    • 7.1 Cosinussatsen


    • 7.2 Sinussatsen


    • 7.3 Tangenssatsen




  • 8 Cirklar


    • 8.1 Omskrivna cirkeln


    • 8.2 Inskrivna cirkeln


    • 8.3 Vidskrivna cirkeln




  • 9 Kongruensfall


    • 9.1 Första kongruensfallet (SVS, sida-vinkel-sida)


    • 9.2 Andra kongruensfallet (SSS, sida-sida-sida)


    • 9.3 Tredje kongruensfallet (VSV, vinkel-sida-vinkel)




  • 10 Likformighet


    • 10.1 Första likformighetsfallet (SVS, Sida-Vinkel-Sida)


    • 10.2 Andra likformighetsfallet (SSS, Sida-Sida-Sida)


    • 10.3 Tredje likformighetsfallet (VVV, Vinkel-Vinkel-Vinkel)




  • 11 Triangelns tyngdpunkt


    • 11.1 Med lodlina




  • 12 Se även


  • 13 Källor


  • 14 Externa länkar





Typer av trianglar |



Triangel-slag.svg



En triangel är




  • Spetsvinklig om alla vinklar är mindre än 90 grader


  • Rätvinklig om en vinkel är rät (90 grader eller π/2{displaystyle pi /2}pi/2 radianer)


  • Trubbvinklig om en av vinklarna är större än 90 grader



Triangel-liksidig-likbent.svg





  • Likbent om två sidor är lika långa


  • Liksidig om alla sidor är lika långa



Vinklar |



Triangel-vinklar-2.png



Supplementvinkeln till en vinkel i en triangel kallas yttre vinkel.



Vinkelsumma |



Triangel-vinkelsumma.svg



En linje som dras genom ett av triangelns hörn och är parallell med motstående sida, visar att triangelns vinkelsumma är 180 grader.



Höjder |


En triangels höjder är normaler dragna från en sida, eller en sidas förlängning, till motstående hörn. Höjderna skär varandra i en punkt.



Triangel-höjder.png



Höjden mot sidan a har längden


ha=2as(s−a)(s−b)(s−c){displaystyle h_{a}={frac {2}{a}}{sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}h_a = frac{2}{a}sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

där s är semiperimetern (triangelns halva omkrets).
Övriga längder beräknas på motsvarande sätt.



Bisektriser |



Huvudartikel: Bisektris



Triangel-bisektris-2x.png



En bisektris delar en av triangelns vinklar i två lika delar.


Bisektrisen till en yttre vinkel kallas yttre bisektris.


Bisektriserna skär varandra i en punkt som också är den inskrivna cirkelns centrum.



Bisektrisens längd |




Bisektrissatsen


Längden av bisektrisen från hörnet A är


ta=2bcb+ccos⁡α2.{displaystyle t_{a}={frac {2bc}{b+c}}cos {frac {alpha }{2}}.}{displaystyle t_{a}={frac {2bc}{b+c}}cos {frac {alpha }{2}}.}


Bisektrissatsen |


En bisektris delar motstående sida i samma proportioner som längderna av de sidor som bildar den delade vinkeln:



bc=xy{displaystyle {frac {b}{c}}={frac {x}{y}}quad }{displaystyle {frac {b}{c}}={frac {x}{y}}quad } (1)

Drag sidan CD med längden AC parallell med sidan AB. Då är trianglarna CDE och ABE likformiga och sambandet (1) följer.



Medianer |



Triangel-medianer-2.png



Medianen är en linje från ett av triangelns hörn till motstående sidas mittpunkt. Medianerna skär varandra i triangelns geometriska tyngdpunkt.


Medianernas längder är



ma=122b2+2c2−a2,{displaystyle m_{a}={tfrac {1}{2}}{sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}},}{displaystyle m_{a}={tfrac {1}{2}}{sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}},}

mb=122a2+2c2−b2,{displaystyle m_{b}={tfrac {1}{2}}{sqrt {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}},}{displaystyle m_{b}={tfrac {1}{2}}{sqrt {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}},}

mc=122a2+2b2−c2.{displaystyle m_{c}={tfrac {1}{2}}{sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}.}{displaystyle m_{c}={tfrac {1}{2}}{sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}.}



Area |


Triangelns area är en höjd multiplicerad med motsvarande sida dividerat med 2 eller


A=aha2=bhb2=chc2{displaystyle A={frac {ah_{a}}{2}}={frac {bh_{b}}{2}}={frac {ch_{c}}{2}}}A = frac {a h_a}{2} = frac {b h_b}{2} = frac {c h_c}{2}

Arean kan också beräknas med herons formel som


A=s(s−a)(s−b)(s−c){displaystyle A={sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} A = sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

där s är semiperimetern (triangelns halva omkrets).


Arean kan även beräknas med den trigonometriska sinusfunktionen enligt areasatsen


A=absin⁡γ2=acsin⁡β2=bcsin⁡α2{displaystyle A={frac {absin gamma }{2}}={frac {acsin beta }{2}}={frac {bcsin alpha }{2}}} A = frac{a b sin gamma}{2} = frac{a c sin beta}{2} = frac{b c sin alpha}{2}


Med integral |



Triangel-area-calc.png



Arean av en triangel kan beräknas med integralen


A=∫0hxahdx=[a2hx2]0h=12hah2=12ah{displaystyle A=int _{0}^{h}x{frac {a}{h}}dx=left[{frac {a}{2h}}x^{2}right]_{0}^{h}={frac {1}{2h}}ah^{2}={frac {1}{2}}ah}A = int_0^h xfrac{a}{h}dx = left[frac{a}{2 h} x^2right] _0^h = frac{1}{2 h} a h^2 = frac{1}{2}a h


Med vektorer |





Triangelns area är hälften av arean av en parallellogram med samma bas och höjd




Arean av en parallellogram i ett tredimensionellt euklidiskt rum kan beräknas med hjälp av vektorer. Låt vektorerna AB och AC svara mot sträckan från A till B respektive A till C.
Arean av parallellogrammen ABCD är


|AB×AC|,{displaystyle |{AB}times {AC}|,}|{AB}times{AC}|,

vilket är magnituden av kryssprodukten av vektorerna AB och AC.
Arean av triangeln ABC är hälften av denna


12|AB×AC|{displaystyle {frac {1}{2}}|{AB}times {AC}|}frac{1}{2}|{AB}times{AC}|

Triangelns area kan med hjälp av skalärprodukt skrivas som


12(AB⋅AB)(AC⋅AC)−(AB⋅AC)2=12|AB|2|AC|2−(AB⋅AC)2{displaystyle {frac {1}{2}}{sqrt {(mathbf {AB} cdot mathbf {AB} )(mathbf {AC} cdot mathbf {AC} )-(mathbf {AB} cdot mathbf {AC} )^{2}}}={frac {1}{2}}{sqrt {|mathbf {AB} |^{2}|mathbf {AC} |^{2}-(mathbf {AB} cdot mathbf {AC} )^{2}}},}<br /> frac{1}{2} sqrt{(mathbf{AB} cdot mathbf{AB})(mathbf{AC} cdot mathbf{AC}) -(mathbf{AB} cdot mathbf{AC})^2} =frac{1}{2} sqrt{ |mathbf{AB}|^2 |mathbf{AC}|^2 -(mathbf{AB} cdot mathbf{AC})^2},<br />

I en tvådimensionell euklidisk rymd kan vektorn AB skrivas som (x1,y1) och AC som (x2,y2), vilket ger arean som


12|x1y2−x2y1|{displaystyle {frac {1}{2}},|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|,}<br /> frac{1}{2},|x_1 y_2 - x_2 y_1|,<br />


Samband mellan sidor och vinklar |



Triangle-notations.png




Cosinussatsen |



a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡α{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccdot cos alpha }a^2=b^2+c^2-2bccdotcos alpha

b2=a2+c2−2ac⋅cos⁡β{displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accdot cos beta }b^2=a^2+c^2-2accdotcos beta

c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡γ{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcdot cos gamma }c^2=a^2+b^2-2abcdotcos gamma


Om till exempel vinkeln γ{displaystyle gamma }gamma är rät och då cos⁡(π/2)=0{displaystyle cos(pi /2)=0}cos(pi/2) = 0 erhålls Pytagoras sats


c2 =a2+b2{displaystyle c^{2} =a^{2}+b^{2}}c^2 = a^2 + b^2


Sinussatsen |


sin⁡αa=sin⁡βb=sin⁡γc{displaystyle {frac {sin alpha }{a}}={frac {sin beta }{b}}={frac {sin gamma }{c}}}frac{sin alpha}{a}=frac{sin beta}{b}=frac{sin gamma}{c}


Tangenssatsen |


a−ba+b=tan⁡(12(α−β))tan⁡(12(α+β)){displaystyle {frac {a-b}{a+b}}={frac {tan({frac {1}{2}}(alpha -beta ))}{tan({frac {1}{2}}(alpha +beta ))}}}frac{a - b}{a + b} = frac{tan (frac{1}{2}(alpha - beta))}{tan (frac{1}{2}(alpha + beta))}


Cirklar |



Omskrivna cirkeln |



Triangel-cirklar-2.svg



Den omskrivna cirkelns centrum ligger i skärningspunkten av sidornas mittpunktsnormaler och


dess radie är


R=abc4s(s−a)(s−b)(s−c){displaystyle R={frac {abc}{4{sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}}R = frac{abc}{4sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}





  • För en spetsvinklig triangel ligger omskrivna cirkelns mittpunkt inuti triangeln







  • För en rätvinklig triangel sammanfaller omskrivna cirkelns mittpunkt med hypotenusans mittpunkt







  • För en trubbvinklig triangel ligger omskrivna cirkelns mittpunkt utanför triangeln






Inskrivna cirkeln |



Triangel-inskrivna-cirkeln.svg



Den inskrivna cirkelns mittpunkt är bisektrisernas skärningspunkt och dess radie är


r=(s−a)(s−b)(s−c)s{displaystyle r={sqrt {frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}}r = sqrt{frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}

där s är semiperimetern.



Vidskrivna cirkeln |



Triangel-vidskrivna-cirkeln.svg



Bisektrisen från A och bisektrisen från B's yttre vinkel skär varandra i den vidskrivna cirkelns mittpunkt.
Den vidskrivna cirkelns radie om cirkeln tangerar sidan a är


 ra=Ts−a{displaystyle r_{a}={frac {T}{s-a}}} r_a = frac{T}{s - a}

där T är triangelns area och s semiperimetern.



Kongruensfall |


Två trianglar är kongruenta om de kan fås att sammanfalla genom rotation, translation och spegling.



Första kongruensfallet (SVS, sida-vinkel-sida) |


Om för ∆ABC och ∆A'B'C' gäller att AB = A'B', AC = A'C' och ∠A = ∠A', så är ∆ABC kongruent med ∆A'B'C'.


Andra kongruensfallet (SSS, sida-sida-sida) |


Om för ∆ABC och ∆A'B'C' gäller att AB = A'B', AC = A'C' och BC = B'C', så är ∆ABC kongruent med ∆A'B'C'.


Tredje kongruensfallet (VSV, vinkel-sida-vinkel) |


Om för ∆ABC och ∆A'B'C' gäller att AB = A'B', ∠A = ∠A' och ∠B =∠B', så är ∆ABC kongruent med ∆A'B'C'.


Likformighet |



Trianglar-likformiga.svg



Om det för två trianglar med sidorna


 a1, b1, c1{displaystyle a_{1}, b_{1}, c_{1}}{displaystyle a_{1}, b_{1}, c_{1}} respektive  a2, b2, c2{displaystyle a_{2}, b_{2}, c_{2}}{displaystyle a_{2}, b_{2}, c_{2}}, existerar ett tal λ{displaystyle lambda ,}lambda,, en skalfaktor, sådant att


 a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2{displaystyle a_{1}=lambda a_{2},quad b_{1}=lambda b_{2},quad c_{1}=lambda c_{2}}{displaystyle a_{1}=lambda a_{2},quad b_{1}=lambda b_{2},quad c_{1}=lambda c_{2}}

sägs trianglarna vara likformiga.


Likformighet betecknas


△ABC∼△A′B′C′{displaystyle triangle ABCsim triangle A'B'C'}triangle ABC sim triangle A'B'C'


Första likformighetsfallet (SVS, Sida-Vinkel-Sida) |


Om för två trianglar ABC och A'B'C'


|AB||A′B′|=|AC||A′C′|{displaystyle {frac {|AB|}{|A'B'|}}={frac {|AC|}{|A'C'|}}}frac{|AB|}{|A'B'|} = frac{|AC|}{|A'C'|}

och


∠A≅∠B{displaystyle angle Acong angle B}angle A cong angle B

är trianglarna likformiga.



Andra likformighetsfallet (SSS, Sida-Sida-Sida) |


Om för två trianglar ABC och A'B'C'


|AB||A′B′|=|AC||A′C′|=|BC||B′C′|{displaystyle {frac {|AB|}{|A'B'|}}={frac {|AC|}{|A'C'|}}={frac {|BC|}{|B'C'|}}}frac{|AB|}{|A'B'|} = frac{|AC|}{|A'C'|} = frac{|BC|}{|B'C'|}

är trianglarna likformiga.



Tredje likformighetsfallet (VVV, Vinkel-Vinkel-Vinkel) |


Om för två trianglar ABC och A'B'C'


∠A≅∠A′,∠B≅∠B′,∠C≅∠C′{displaystyle angle Acong angle A',quad angle Bcong angle B',quad angle Ccong angle C'}angle A cong angle A',quad angle B cong angle B',quad angle C cong angle C'

är trianglarna likformiga.



Triangelns tyngdpunkt |



Triangel, tyngdpunkt.svg



En triangelformad ytas masscentrum (tyngdpunkt) ligger på en tredjedel av höjden räknat från basen.


Medianernas skärningspunkt sammanfaller med masscentrum.


Triangel-centroid-calc.png

Tyngdpunktens avstånd till en sida kan beräknas med en integral. Vi kan anta att ytdensiteten (massa per areaenhet) är = 1. Arean xahdx{displaystyle x{frac {a}{h}}dx}xfrac{a}{h}dx utövar då momentet x⋅xahdx{displaystyle xcdot x{frac {a}{h}}dx}xcdot xfrac{a}{h}dx med avseende på origo, vilket för hela triangeln ger


∫0hx⋅xahdx=[a3hx3]0h=13ah2=23Ah{displaystyle int _{0}^{h}xcdot x{frac {a}{h}}dx=left[{frac {a}{3h}}x^{3}right]_{0}^{h}={frac {1}{3}}ah^{2}={frac {2}{3}}Ah}int_0^h xcdot xfrac{a}{h}dx = left[frac{a}{3 h} x^3right] _0^h = frac{1}{3}a h^2 = frac{2}{3}A h

där A är triangelns area. Det moment triangeln utövar kan anses angripa i tyngdpunkten vilket ger


TpA=23Ah → Tp=23h→d=h3{displaystyle T_{p}A={frac {2}{3}}Ah rightarrow T_{p}={frac {2}{3}}hrightarrow d={frac {h}{3}}} T_p A = frac{2}{3}A h rightarrow T_p = frac{2}{3}h rightarrow d = frac{h}{3}


Med lodlina |



Triangle-centroid-find.svg



Det går att finna ett tunt och plant föremåls tyngdpunkt med hjälp av en lodlina. Lodlina och (i detta fall) triangel hängs fritt från en fästpunkt och lodlinjen markeras. Detta upprepas för en andra fästpunkt. Lodlinjernas skärningspunkt är tyngdpunktens läge.



Se även |



  • Triangulering


  • Geometri

    • Polygon

    • Pythagoras sats

    • Hyperbolisk triangel

    • Sfärisk triangel

    • Sierpinskitriangel

    • Herons formel

    • Cirkel




  • Trigonometri

    • Areasatsen

    • Sinussatsen

    • Cosinussatsen



  • Märken för fångar i nazistiska koncentrationsläger



Källor |


  • Weisstein, Eric W. "Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [1]


Externa länkar |




  • Wiktionary small.svg Slå upp Triangel i ordlistan Wiktionary.
    Ordbok



  • Commons-logo.svg Wikimedia Commons har media som rör Triangel.
    Bilder & media



.mw-parser-output table.navbox{border:#aaa 1px solid;width:100%;margin:auto;clear:both;font-size:88%;text-align:center;padding:1px}.mw-parser-output table.navbox+table.navbox{margin-top:-1px}.mw-parser-output .navbox-title,.mw-parser-output .navbox-abovebelow,.mw-parser-output table.navbox th{text-align:center;padding-left:1em;padding-right:1em}.mw-parser-output .navbox-thlinkcolor .navbox-title a{color:inherit}.mw-parser-output .nowraplinks a,.mw-parser-output .nowraplinks .selflink{white-space:nowrap}.mw-parser-output .navbox-group{white-space:nowrap;text-align:right;font-weight:bold;padding-left:1em;padding-right:1em}.mw-parser-output .navbox,.mw-parser-output .navbox-subgroup{background:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list{border-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-title,.mw-parser-output table.navbox th{background:#b0c4de}.mw-parser-output .navbox-abovebelow,.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-title{background:#d0e0f5}.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-abovebelow{background:#deeafa}.mw-parser-output .navbox-even{background:#f7f7f7}.mw-parser-output .navbox-odd{background:transparent}
















v • r

Geometriska figurer
Plangeometriska figurer

Cirkel · Ellips · Kvadrat · Romb · Rektangel · Parallellogram · Parallelltrapets · Likbent parallelltrapets · Trapets · Triangel · Polygon
Rymdgeometriska figurer

Kub (hexaeder) · Rätblock · Klot / Sfär · Cylinder · Parallellepiped · Romboeder · Kon · Pyramid · Tetraeder · Oktaeder · Ikosaeder · Dodekaeder · Polyeder

Se även: Arkimediska kroppar · Platonska kroppar





















v • r

Polygoner efter antal hörn
Trianglar

Likbent triangel · Liksidig triangel · Rätvinklig triangel
Fyrhörningar

Parallelltrapets · Likbent parallelltrapets · Parallellogram · Rektangel · Kvadrat · Romb · Drake
Övriga

Pentagon (5) · Hexagon (6) · Heptagon (7) · Oktogon (8) · Nonagon (9) · Dekagon (10) · Hendekagon (11) · Dodekagon (12) · Tridekagon (13) · Tetradekagon (14) · Pentadekagon (15) · Heptadekagon (17) · Ikosagon (20) · Ikositetragon (24) · Hektogon (100)



-

Popular posts from this blog

Bressuire

Image
.mw-parser-output .infobox{border:1px solid #aaa;background-color:#f9f9f9;color:black;margin:.5em 0 .5em 1em;padding:.2em;float:right;clear:right;width:22em;text-align:left;font-size:88%;line-height:1.6em}.mw-parser-output .infobox td,.mw-parser-output .infobox th{vertical-align:top;padding:0 .2em}.mw-parser-output .infobox caption{font-size:larger}.mw-parser-output .infobox.bordered{border-collapse:collapse}.mw-parser-output .infobox.bordered td,.mw-parser-output .infobox.bordered th{border:1px solid #aaa}.mw-parser-output .infobox.bordered .borderless td,.mw-parser-output .infobox.bordered .borderless th{border:0}.mw-parser-output .infobox-showbutton .mw-collapsible-text{color:inherit}.mw-parser-output .infobox.bordered .mergedtoprow td,.mw-parser-output .infobox.bordered .mergedtoprow th{border:0;border-top:1px solid #aaa;border-right:1px solid #aaa}.mw-parser-output .infobox.bordered .mergedrow td,.mw-parser-output .infobox.bordered .mergedrow th{border:0;border-right:1px solid
Read more

Cabo Verde

Image
  Nota: Cabo-verdiano redireciona para este artigo. Para a língua falada em Cabo Verde, veja crioulo cabo-verdiano. Para outros significados, veja Cabo Verde (desambiguação). Coordenadas: 14° 55' N 23° 31' O Cabo Verde República de Cabo Verde Bandeira Brasão de Armas Lema: Unidade, Trabalho, Progresso Hino nacional: Cântico da Liberdade Gentílico: cabo-verdiano [ 1 ] Capital Praia 14° 55' N 23° 31' O Cidade mais populosa Praia Língua oficial Português Governo República unitária semipresidencialista [ 2 ]  - Presidente Jorge Carlos Fonseca  - Primeiro-ministro Ulisses Correia e Silva História    - Descoberta 1460   - Independência 00 • de Portugal 5 de Julho de 1975   - Multipartidarismo 13 de Janeiro de 1990  Área    - Total 4 033 km² (146.º)  - Água (%) 0,08 População    - Estimativa para 2017 560 899 [ 3 ] hab. (173.º)
Read more

Gyllenstierna

Image
.mw-parser-output .infobox{border:1px solid #aaa;background-color:#f9f9f9;color:black;margin:.5em 0 .5em 1em;padding:.2em;float:right;clear:right;width:22em;text-align:left;font-size:88%;line-height:1.6em}.mw-parser-output .infobox td,.mw-parser-output .infobox th{vertical-align:top;padding:0 .2em}.mw-parser-output .infobox caption{font-size:larger}.mw-parser-output .infobox.bordered{border-collapse:collapse}.mw-parser-output .infobox.bordered td,.mw-parser-output .infobox.bordered th{border:1px solid #aaa}.mw-parser-output .infobox.bordered .borderless td,.mw-parser-output .infobox.bordered .borderless th{border:0}.mw-parser-output .infobox-showbutton .mw-collapsible-text{color:inherit}.mw-parser-output .infobox.bordered .mergedtoprow td,.mw-parser-output .infobox.bordered .mergedtoprow th{border:0;border-top:1px solid #aaa;border-right:1px solid #aaa}.mw-parser-output .infobox.bordered .mergedrow td,.mw-parser-output .infobox.bordered .mergedrow th{border:0;border-right:1px solid
Read more