Xrfgtjtk

Inom elementär och algebraisk talteori är kubisk reciprocitet en samling satser om lösbarheten av kongruensen x³ ≡ p (mod q); ordet "reciprocitet" kommer från den viktigaste satsen, som säger att om p och q är primtal i ringen av Eisensteinheltal, båda relativt prima till 3, är

kongruensen x³ ≡ p (mod q) lösbar om och bara om x³ ≡ q (mod p) är.

Heltal |

En kubisk rest (mod p) är ett godtyckligt tal som är en tredje potens av ett heltal (mod p). Om x³ ≡ a (mod p) saknar heltalslösningar kallas a för en kubisk ickerest (mod p).^[1]

Såsom ofta inom talteori är det enlast att arbeta med primtal, så i denna sektion är alla p, q, etc. positiva udda primtal.^[1]

Det första att notera då man arbetar med ringen Z av heltal är att om primtalet q är ≡ 2 (mod 3) varje tal en kubisk rest (mod q). Låt q = 3n + 2; eftersom 0 = 0³ är en kubisk rest, anta att x inte är delbar med q. Då är enligt Fermats lilla sats

xq=x3n+2≡x(modq) and xq−1=x3n+1≡1(modq), så {displaystyle x^{q}=x^{3n+2}equiv x{pmod {q}};{mbox{ and }};x^{q-1}=x^{3n+1}equiv 1{pmod {q}},{mbox{ så }}}

x=1⋅x≡xqxq−1=x3n+2x3n+1=x6n+3=(x2n+1)3(modq){displaystyle x=1cdot xequiv x^{q}x^{q-1}=x^{3n+2}x^{3n+1}=x^{6n+3}=(x^{2n+1})^{3}{pmod {q}}}

är en kubisk rest (mod q).

Härmed är det enda intressanta fallet det då p ≡ 1 (mod 3).

Euler |

För relativt prima heltal m och n, definiera den rationella kubiska restsymbolen som

[mn]3={+1 om m är en kubisk rest (modn)−1 om m är en kubisk ickerest (modn).{displaystyle left[{frac {m}{n}}right]_{3}={begin{cases}&+1{mbox{ om }}m{mbox{ är en kubisk rest }}{pmod {n}}\&-1{mbox{ om }}m{mbox{ är en kubisk ickerest }}{pmod {n}}end{cases}}.}

En sats av Fermat^[2][3] säger att varje primtal p ≡ 1 (mod 3) är summan av en kvadrat och tre gånger en kvadrat: p = a² + 3b² och att (förutom tecknena av a och b) är denna representation unik.

Baserat på deta gjorde Euler^[4][5] följande förmodanden:

[2p]3=1 om och bara om3|b[3p]3=1 om och bara om9|b; eller 9|(a±b)[5p]3=1 om och bara om 15|b; eller 3|b and 5|a; or 15|(a±b); or 15|(2a±b)[6p]3=1 om och bara om 9|b; eller 9|(a±2b).{displaystyle {begin{aligned}left[{frac {2}{p}}right]_{3}=1&{mbox{ om och bara om}}3|b\left[{frac {3}{p}}right]_{3}=1&{mbox{ om och bara om}}9|b;{mbox{ eller }}9|(apm b)\left[{frac {5}{p}}right]_{3}=1&{mbox{ om och bara om }}15|b;{mbox{ eller }}3|b{mbox{ and }}5|a;{mbox{ or }}15|(apm b);{mbox{ or }}15|(2apm b)\left[{frac {6}{p}}right]_{3}=1&{mbox{ om och bara om }}9|b;{mbox{ eller }}9|(apm 2b)\end{aligned}}.}

Gauss |

Gauss^[6][7] bevisade att om   p=3n+1=14(L2+27M2),{displaystyle p=3n+1={tfrac {1}{4}}left(L^{2}+27M^{2}right),}  är   L(n!)3≡1(modp),{displaystyle L(n!)^{3}equiv 1{pmod {p}},}    från vilket  [Lp]3=[Mp]3=1{displaystyle left[{frac {L}{p}}right]_{3}=left[{frac {M}{p}}right]_{3}=1} följer ganska lätt.

Se även |

• Kvadratisk reciprocitet


• Kvartisk reciprocitet


• Oktisk reciprocitet


• Eisensteinreciprocitet


• Artinreciprocitet

Källor |

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Cubic reciprocity, 24 april 2014.

1. ^ [a b] cf. Gauss, BQ § 2
   


2. 
   ^ Gauss, DA, Art. 182
   


3. 
   ^ Cox, Ex. 1.4–1.5
   


4. 
   ^ Euler, Tractatus, §§ 407–401
   


5. 
   ^ Lemmermeyer, p. 222–223
   


6. 
   ^ Gauss, DA footnote to art. 358
   


7. 
   ^ Lemmermeyer, Ex. 7.9
   

Externa länkar |

• Weisstein, Eric W., "Cubic Reciprocity Theorem", MathWorld. (engelska)