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Série de artigos sobre
Relatividade geral
Gμν+Λgμν=8πGc4Tμν{displaystyle G_{mu nu }+Lambda g_{mu nu }={8pi G over c^{4}}T_{mu nu }}
Introdução  · História  · Fórmula matemática  · Testes
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Simulação de computador em câmera lenta do par de buracos negros que deu origem à onda gravitacional GW150914, visto por um observador próximo por 0,33 segundos apresentando seu movimento espiral, fusão e estado final. O campo de estrelas atrás dos buracos negros foi fortemente distorcido e parece girar e se mover, devido à lente gravitacional extrema, já que o espaço-tempo em si é distorcido e arrastado pelos buracos negros rotativos.^[1]

Teoria da relatividade geral ou simplesmente relatividade geral é uma teoria geométrica da gravitação publicada por Albert Einstein em 1915^[2] e a descrição atual da gravitação na física moderna. É um conjunto de hipóteses que generaliza a relatividade especial e a lei da gravitação universal de Newton, fornecendo uma descrição unificada da gravidade como uma propriedade geométrica do espaço e do tempo, ou espaço-tempo. Em particular, a "curvatura do espaço-tempo" está diretamente relacionada à energia e ao momento de qualquer matéria e radiação presente. A relação é especificada pelas equações de campo de Einstein, um sistema de equações diferenciais parciais.

Muitas previsões da relatividade geral diferem significativamente das da física clássica, especialmente no que respeita à passagem do tempo, a geometria do espaço, o movimento dos corpos em queda livre, e a propagação da luz. Exemplos de tais diferenças incluem a dilatação gravitacional do tempo, o desvio gravitacional para o vermelho da luz, e o tempo de atraso gravitacional. Previsões da relatividade geral foram confirmadas em todas as observações e experimentos até o presente. Embora a relatividade geral não seja a única teoria relativística da gravidade, é a mais simples das teorias que são consistentes com dados experimentais. No entanto, há questões ainda sem resposta, sendo a mais fundamental delas explicar como a relatividade geral pode ser conciliada com as leis da física quântica para produzir uma teoria completa e auto-consistente da gravitação quântica.

A teoria de Einstein tem importantes implicações astrofísicas. Ela aponta para a existência de buracos negros — regiões no espaço onde o espaço e o tempo são distorcidos de tal forma que nada, nem mesmo a luz, pode escapar — como um estado final para estrelas maciças. Há evidências de que esses buracos negros estelares, bem como outras variedades maciças de buracos negros são responsáveis pela intensa radiação emitida por certos tipos de objetos astronômicos, tais como núcleos ativos de galáxias ou microquasares. O desvio da luz pela gravidade pode levar ao fenômeno de lente gravitacional, onde várias imagens do mesmo objeto astronômico distante são visíveis no céu. A relatividade geral também prevê a existência de ondas gravitacionais, que já foram medidas indiretamente; uma medida direta, no final de 2015, por pesquisadores do projeto LIGO (Observatório de Ondas Gravitacionais por Interferômetro Laser) confirmou as "distorções no espaço e no tempo" causadas por um par de buracos negros com 30 massas solares em processo de fusão.^[3][4][5][6] Além disso, a relatividade geral é a base dos atuais modelos cosmológicos de um universo sempre em expansão. Foi descrita por cientistas notáveis — como Lev Landau, Steven Weinberg e Wolfgang Pauli — como a mais bela de todas as teorias físicas existentes.^[7][8]

História |

Logo depois de publicar a teoria da relatividade especial em 1905, Einstein começou a pensar sobre como incorporar a gravidade em sua nova estrutura relativista. Em 1907, começando com um simples experimento mental envolvendo um observador em queda livre, embarcou no que seria uma busca de oito anos por uma teoria relativística da gravidade. Após inúmeros desvios e falsos começos, seu trabalho culminou na apresentação à Academia de Ciências da Prússia, em novembro de 1915, do que hoje são conhecidas como equações de campo de Einstein. Essas equações especificam como a geometria do espaço e do tempo é influenciada por qualquer matéria e radiação presentes e formam o núcleo de sua teoria da relatividade geral.^[9]

Einstein em 1931

As equações de campo de Einstein são não-lineares e muito difíceis de resolver. Einstein usou métodos de aproximação na elaboração das previsões iniciais da teoria. Mas já em 1916, o astrofísico Karl Schwarzschild encontrou a primeira solução não trivial exata para as equações de campo, a métrica de Schwarzschild. Esta solução estabeleceu as bases para a descrição das etapas finais do colapso gravitacional e os objetos conhecidos hoje como buracos negros. No mesmo ano, foram realizados os primeiros passos para a generalização da métrica de Schwarzschild para objetos carregados eletricamente, o que acabou resultando na métrica de Reissner-Nordström, agora associada a buracos negros carregados eletricamente.^[10] No ano seguinte, Einstein aplicou sua teoria ao universo como um todo, iniciando o campo da cosmologia relativista. Em consonância com o pensamento contemporâneo, assumiu um universo estático, adicionando um novo parâmetro às suas equações de campo originais — a constante cosmológica — para combinar com essa presunção observacional.^[11] Em 1929, no entanto, o trabalho de Edwin Powell Hubble e outros mostrava que o nosso universo está se expandindo. Isto é prontamente descrito pelas soluções cosmológicas em expansão encontradas por Alexander Friedmann em 1922, que não exigem uma constante cosmológica. Georges Lemaître usou essas soluções para formular a versão mais antiga dos modelos do Big Bang, em que nosso universo evoluiu a partir de um estado anterior extremamente quente e denso.^[12] Einstein declarou mais tarde a constante cosmológica como o maior erro de sua vida.^[13]

Durante esse período, a relatividade geral permaneceu como uma curiosidade entre as teorias físicas. Era claramente superior à gravidade newtoniana, sendo consistente com a relatividade especial e contabilizando vários efeitos inexplicados pela teoria clássica. O próprio Einstein havia mostrado em 1915 como sua teoria explicava o progresso anormal do periélio do planeta Mercúrio sem quaisquer parâmetros arbitrários.^[14] Da mesma forma, uma expedição de 1919 liderada por Arthur Stanley Eddington confirmou a previsão da relatividade geral para a deflexão da luz das estrelas pelo Sol durante o eclipse solar total de 29 de maio,^[15] tornando Einstein instantaneamente famoso.^[16] No entanto, a teoria tornou-se consolidada na física teórica e na astrofísica apenas com os desenvolvimentos por volta de 1960 e 1975, agora conhecidos como a era dourada da relatividade geral.^[17] Físicos começaram a entender o conceito de buraco negro e a identificar quasares como uma das manifestações astrofísicas desses objetos.^[18] Testes cada vez mais precisos com o sistema solar confirmaram o poder preditivo teórico,^[19] e a cosmologia relativística também se tornou passível de testes de observação direta.^[20]

Princípio da Relatividade Geral |

O postulado base da Teoria da Relatividade Geral, chamado de Princípio da equivalência, especifica que sistemas acelerados e sistemas submetidos a campos gravitacionais são fisicamente equivalentes. Nas próprias palavras de Einstein em seu trabalho de 1915:

Nós iremos portanto assumir a completa equivalência física entre um campo gravitacional e a correspondente aceleração de um sistema de referência. Esta hipótese estende o princípio da relatividade especial para sistemas de referência uniformemente acelerados.

Por esse princípio, uma pessoa numa sala fechada, acelerada por um foguete com a mesma aceleração que a da gravidade na Terra (9,8184m/s2{displaystyle 9,8184m/s^{2}}), não poderia descobrir se a força que a prende ao chão tem origem no campo gravitacional terrestre ou se é devida à aceleração da própria sala através do espaço e vice-versa. Uma pessoa em uma sala em órbita ou queda livre em direção a um planeta não saberá dizer por observação local se encontra em órbita ao redor de um planeta ou no espaço profundo, longe de qualquer corpo celeste. Esse experimento mental é conhecido na literatura como o elevador de Einstein.

Esse princípio é válido apenas para vizinhanças pequenas do ponto considerado, e determina o chamado referencial localmente inercial através de uma lei de transformação entre o referencial do observador (genérico) e um em que a Física se assemelha àquela da Relatividade restrita.

Uma consequência importante do Princípio da Equivalência é a identificação entre os conceitos de massa inercial e massa gravitacional. Embora isso pareça óbvio, conceitualmente elas são distintas. A massa inercial é aquela expressa na segunda lei de Newton, F→=ma→{displaystyle {vec {F}}=m{vec {a}}}, e corresponde à resistência dos corpos em mudar seu estado de movimento relativo. A massa gravitacional é aquela da lei da gravitação universal de Newton, e corresponde à capacidade que um corpo tem de atrair outro. Identificando um referencial acelerado a uma força gravitacional, esses conceitos se confundem, e as massas se tornam a mesma entidade. A diferença medida experimentalmente entre elas é inferior, em proporção, a 10−9{displaystyle 10^{-9}}.

O Princípio da Equivalência tem, portanto, como principal consequência, a equivalência entre massa gravitacional e inercial.

Avanço do periélio de Mercúrio |

Na física newtoniana, sob as hipóteses padrões da astrodinâmica um sistema com dois corpos de um objeto solitário orbitando uma massa esférica iria traçar uma elipse, que na verdade foi elaborada por Kepler no século XVII; com a massa esférica no foco do sistema. O ponto de maior aproximação, denominado periastro (e para o Sistema Solar em particular, periélio), é fixo. Existem inúmeros efeitos presentes em nosso sistema solar que causam a precessão do periélio dos planetas que translam em torno do Sol. Estes efeitos são principalmente por causa da presença de outros planetas, que perturbam suas órbitas mutuamente. Outro efeito é a oblitude solar, que produz apenas uma pequena contribuição. A taxa anômala de precessão do periélio da órbita de Mercúrio foi reconhecida primeiramente em 1859 como um problema da mecânica celeste, por Urbain Le Verrier. Sua reanálise das observações do trânsito de Mercúrio disponíveis sobre o disco solar entre 1697 e 1848 mostrou que a taxa atual da precessão estava em desacordo com a calculada a partir da teoria de Newton, por uma quantidade estimada inicialmente como 38 segundos de arco por século e posteriormente estimada em 43 segundos de arco.^[21] Na teoria da relatividade geral, esta precessão remanescente, ou mudança na orientação da elipse orbital dentro de seu plano orbital, é explicada pela gravitação sendo mediada pela curvatura do espaço tempo. Einstein demonstrou que a relatividade geral predizia exatamente a diferença observada no periélio mercuriano. Este foi um poderoso fator motivante para a adoção da teoria de Einstein.^[22]

Embora as medições anteriores das órbitas dos planetas terem sido feitas com telescópios convencionais, as mais exatas medições são feitas atualmente com radares. A precessão total observada de Mercúrio é de 5600 arcos de segundo por século em relação à posição do equinocio primaveril do sol. Esta precessão é devida às seguintes causas (os números são cotados para os valores modernos):

Assim, a predição da relatividade geral justifica a precessão faltante, com a discrepância restante incluída no erro observado. Todos os outros planetas experimentam mudanças no periélio; porém, uma vez que estão mais afastados do sol e têm velocidades menores, suas mudanças são menores e mais difíceis de observar. Por exemplo, o periélio da órbita terrestre é afetado em aproximadamente 5 arcos de segundo por século.

A distorção do espaço-tempo do sol também altera a forma como os outros planetas puxam Mercúrio. O efeito combinado estimado da deformação causada pelos planetas é tão pequeno que levaria 2 bilhões de anos para adicionar um grau à rotação da órbita de Mercúrio.^[23]

A ligação com a geometria |

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O Princípio da Equivalência põe em pé de igualdade todos os referenciais. Uma consequência disso é que um observador movendo-se livremente em seu referencial pode ver-se em um estado de movimento diferente do visto por um observador em outro ponto do espaço. Voltando ao exemplo do elevador: um observador dentro de uma nave espacial em órbita se vê completamente livre de forças inerciais, o que para ele significa que o seu referencial é localmente inercial (em repouso, ou movendo-se uniformemente, segundo a primeira lei de Newton). Um observador na Terra constata que a nave não está em movimento retilíneo, mas em órbita ao redor da Terra.

A maneira de se lidar com essas diferenças é escrever em um referencial genérico a equação de movimento observada no referencial localmente inercial, através da equação que determina a transformação de referenciais.

No referencial localmente inercial, não há acelerações nas trajetórias das partículas, o que significa:

∂2xμ∂τ2=0{displaystyle {frac {partial ^{2}x_{mu }}{partial tau ^{2}}}=0}

onde μ{displaystyle mu } é um índice que varia de 0 a 3, sendo x0{displaystyle x_{0}} a coordenada do tempo, e x1{displaystyle x_{1}}, x2{displaystyle x_{2}} e x3{displaystyle x_{3}} as coordenadas espaciais, e τ{displaystyle tau } é o tempo próprio do referencial.

A equação que rege a mudança de referenciais é genericamente escrita como:

dxμ′=∂xμ′∂xνdxν{displaystyle dx_{mu }^{prime }={frac {partial x_{mu }^{prime }}{partial x^{nu }}}dx^{nu }}

que corresponde ao jacobiano associado à mudança de coordenadas.

Aplicando essa lei de transformação na equação de movimento, resulta:

∂2xμ∂τ2+Γαβμ∂xα∂τ∂xβ∂τ=0{displaystyle {frac {partial ^{2}x^{mu }}{partial tau ^{2}}}+Gamma _{alpha beta }^{mu }{frac {partial x^{alpha }}{partial tau }}{frac {partial x^{beta }}{partial tau }}=0}

Essa é a equação da geodésica, que nada mais é do que a equação de movimento de um corpo em um referencial genérico. Ou seja, se em um referencial localmente inercial um corpo executa movimento retilíneo uniforme, em um referencial genérico o mesmo corpo percorrerá ao longo do espaço-tempo uma curva chamada de geodésica, que não necessariamente é uma linha reta nesse referencial.

O objeto Γαβμ{displaystyle Gamma _{alpha beta }^{mu }} que aparece na equação da geodésica é chamado de conexão (um dos símbolos de Christoffel), e representa uma medida de quanto um dado referencial não é inercial. Nos referenciais inerciais as conexões são sempre iguais a zero.

Assim, uma vez que as geodésicas são diferentes, as geometrias do espaço-tempo nos dois casos são diferentes. Isso é uma característica puramente geométrica do espaço-tempo, que deve ser expressa em função apenas das suas propriedades.

Geometria do espaço-tempo |

Geodésica no espaço-tempo de uma partícula parada em um ponto do plano x-y

A ideia importante para se entender a fundo os conceitos básicos da Relatividade geral é entender o que significa o movimento de um corpo neste espaço-tempo de 4 dimensões. Não existe movimento espacial sem movimento temporal. Isto é, no espaço-tempo não é possível a um corpo se mover nas dimensões espaciais sem se deslocar no tempo. Mas mesmo quando não nos movemos espacialmente, estamos nos movendo na dimensão temporal (no tempo). Mesmo sentados em nossa cadeira lendo este artigo, estamos nos movendo no tempo, para o futuro. Este movimento é tão válido na geometria do espaço-tempo quanto os que estamos habituados a ver em nosso dia a dia. Portanto, no espaço-tempo estamos sempre em movimento, e a nossa ideia de estar parado significa apenas que encontramos uma forma de não nos deslocarmos nas direções espaciais mas apenas no tempo (veja o exemplo deste tipo de geodésica na figura ao lado).

Essa afirmação é importantíssima, e merece esclarecimentos. O motivo é simples: no plano espacial, se um objeto se desloca de um ponto ao outro sem se deslocar na direção temporal, a velocidade deste deslocamento será infinita, já que a velocidade inclui um deslocamento pelo intervalo de tempo, que neste caso seria zero. E da Teoria da Relatividade especial sabe-se que a maior velocidade possível para algo material, no nosso universo, é a velocidade da luz. Portanto este resultado da Relatividade especial cria imediatamente no nosso espaço-tempo duas regiões distintas: uma região a que podemos ter acesso (chamada de tipo tempo), e regiões às quais não podemos ter acesso imediato (chamadas de tipo espaço). Isto é uma característica diferente da de um espaço de 4 dimensões qualquer, por exemplo, onde não temos restrição alguma entre as regiões do espaço, nem uma direção especial.

A relatividade restrita, portanto, impõe sobre a geometria do espaço-tempo uma restrição fundamental e diversa do que esperaríamos de um espaço euclidiano de quatro dimensões, por exemplo. Esta diferença se reflete na estrutura básica da geometria.

Podemos mostrar como estas diferenças se refletem na noção de distância, que na Relatividade Especial é chamada de intervalo, para não invocar a mesma ideia de distância euclidiana. Se quisermos medir a distância entre dois pontos em um espaço de 3 dimensões, usamos a fórmula de Pitágoras:

s2=(x1−x2)2+(y1−y2)2+(z1−z2)2{displaystyle s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}

Incluindo o tempo para termos o espaço-tempo, poderíamos imaginar uma fórmula equivalente para a distância entre dois pontos:

s2=c2(t1−t2)2+(x1−x2)2+(y1−y2)2+(z1−z2)2{displaystyle s^{2}=c^{2}(t_{1}-t_{2})^{2}+(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}

Note que tivemos o cuidado de multiplicar o termo temporal por c, a velocidade da luz no vácuo, para termos um comprimento, uma vez que não faz sentido somar tempo com distância. Para pontos muito próximos (lembre-se que temos que manter nossa análise local para podermos garantir que estamos em um referencial inercial), podemos escrever.

Δs2=c2(Δt)2+(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2=c2(Δt)2+(Δx→)2{displaystyle Delta s^{2}=c^{2}(Delta t)^{2}+(Delta x)^{2}+(Delta y)^{2}+(Delta z)^{2}=c^{2}(Delta t)^{2}+(Delta {vec {x}})^{2}}

Mas isto não reflete a característica essencial do espaço-tempo que estamos discutindo. A distância acima é simplesmente a distância em espaço euclidiano de 4 dimensões. O que sabemos é que as velocidades espaciais possíveis são sempre menores que a velocidade da luz:

|ddtx→|≤c{displaystyle left|{frac {d}{dt}}{vec {x}}right|leq c}

E isto, de certa forma, deve ser refletido pela geometria que estamos procurando. E está, como iremos demonstrar. Elevando ao quadrado para eliminar o módulo acima, e reorganizando os termos, podemos escrever nossa restrição como:

(dx→)2≤c2dt2{displaystyle (d{vec {x}})^{2}leq c^{2}dt^{2}}

Repare que a expressão acima é o equivalente matemático do que acabamos de dizer: deslocamentos espaciais válidos devem ser menores que c dt para que a velocidade do deslocamento seja menor que a da luz. Comparando esta expressão com a da distância em um espaço euclidiano, dada acima, vemos uma semelhança. Podemos entender agora que o termo ds :

ds2=c2dt2−dx→2≥0{displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-d{vec {x}}^{2}geq 0}

pode ser utilizado como definição para o cálculo de intervalos no espaço-tempo.

Para completar, precisamos agora entender como esta medida de intervalos pode ser generalizada para um sistema de coordenadas qualquer.

Em quatro dimensões, usando a notação de Einstein para somas de vetores, podemos escrever o intervalo como sendo o seguinte:

ds2=gμνdxμdxν{displaystyle ds^{2}=g_{mu nu }dx^{mu }dx^{nu }}

que nada mais é do que o teorema de Pitágoras generalizado a quatro dimensões. No caso da Relatividade restrita, o tensor métrico gμν{displaystyle g_{mu nu }} é dado pela seguinte matriz:

gμν=ημν=[10000−10000−10000−1]{displaystyle g_{mu nu }=eta _{mu nu }={begin{bmatrix}1&0&0&0\0&-1&0&0\0&0&-1&0\0&0&0&-1end{bmatrix}}}

Na relatividade geral, a presença de matéria e energia altera os termos dessa matriz, alterando a métrica do espaço-tempo. É importante notar que a métrica é uma característica do espaço-tempo e não do referencial; o que muda ao se passar de um sistema de coordenadas para outro é a expressão da métrica no sistema de coordenadas. Assim, ela é invariante para todos os referenciais.

Podemos assim determinar uma expressão para as conexões que depende unicamente da métrica em cada ponto.

No entanto, para todo ponto no espaço-tempo podemos definir um referencial localmente inercial, que tem a conexão igual a zero. Para medir precisamente a diferença entre a geometria de um ponto a outro, é necessário que sejam analisadas as derivadas das conexões.

Curvatura do espaço-tempo |

Uma analogia para a curvatura do espaço-tempo (2D) causada por uma massa. Uma analogia mais precisa, seria imaginar a parte vermelha em todos os eixos Y da imagem. A imagem representa somente um valor no vetor Y.

Imaginemos agora um observador no espaço profundo. Suponha que ele esteja parado, isto é, em um movimento geodésico que é uma linha reta diretamente para o futuro. Se agora colocarmos instantaneamente ao seu lado uma massa suficientemente grande, a deformação que esta massa causará no espaço-tempo em sua vizinhança irá curvar e alterar as coordenadas originais do espaço-tempo no local. O efeito é que aquele movimento que era apenas uma linha reta na direção temporal agora passará a ocorrer também nas novas coordenadas espaciais. A linha se curva e se enrola em torno do corpo enquanto ele se move na direção do tempo futuro. E nosso observador começa a se mover espacialmente devido à distorção da geometria causada pela massa, não devido à presença de uma força. Isto era o efeito que se costuma chamar de gravidade mas que, à luz desta teoria, é uma distorção da geometria do espaço-tempo devido à presença de uma massa.

Para ajudar a entender intuitivamente o conceito de curvatura do espaço-tempo por um objeto massivo é comum usar-se uma analogia com a deformação causada por uma bola pesada numa membrana elástica. (É evidentemente uma representação um tanto «fantasiosa», pois mostra apenas a curvatura espacial de um espaço de duas dimensões, sem levar em consideração o efeito do tempo.) Quanto maior for a massa do objeto, maior será a curvatura da membrana. Se colocarmos perto da cova criada um objeto mais leve, como uma bola de ping-pong, ela cairá em direção à bola maior. Se, em vez disso, atirarmos a bola de ping-pong a uma velocidade adequada em direção ao poço, ela ficará a "orbitar" em torno da bola pesada, desde que o atrito seja pequeno. E isto é, de algum modo, análogo ao que acontece quando a Lua orbita em torno da Terra, por exemplo.

Geódesica no espaço-tempo de uma partícula próxima a um corpo material

Na relatividade geral, os fenômenos que na mecânica clássica se considerava serem o resultado da ação da força da gravidade, são entendidos como representando um movimento inercial num espaço-tempo curvo. A massa da Terra encurva o espaço-tempo e isso faz com que tenhamos tendência para cair em direção ao seu centro.

O ponto essencial é entender que não existe nenhuma «força da gravidade» atuando à distância. Na relatividade geral, não existe ação à distância e a gravidade não é uma força mas sim uma deformação geométria do espaço encurvado pela presença nele de massa, energia ou momento. E uma geodésica é o caminho mais curto entre dois pontos, numa determinada geometria. É a trajetória que segue no espaço-tempo um objeto em queda livre, ou seja, livre da ação de forças externas. Por isso, a trajetória orbital de um planeta em volta de uma estrela é a projeção num espaço 3D de uma geodésica da geometria 4D do espaço-tempo em torno da estrela.

Se os objetos tendem a cair em direção ao solo é apenas devido à curvatura do espaço-tempo causada pela Terra. Quando um objeto foi lançado no ar, ele sobe e depois cai. Mas não é porque haja uma força a puxá-lo para baixo. Segundo Einstein, o objeto segue apenas uma geodésica num espaço-tempo curvo. Quando está no ar, não há nenhuma força a agir sobre ele, exceto a da resistência do ar. Se o vemos a acelerar, é porque, quando estamos parados em cima do solo, a nossa trajetória não segue uma «linha reta» (uma geodésica), porque há uma força que age sobre nós: a força do solo a puxar-nos para cima. Aquilo a que chamamos «força da gravidade» resulta apenas do fato de a superfície da Terra nos impedir de cair em queda-livre segundo a linha geodésica que a curvatura do espaço-tempo nos impõe. Aquilo a que chamamos «força da gravidade» é apenas o resultado de estarmos submetidos a uma aceleração física contínua causada pela resistência mecânica da superfície da Terra. A sensação de peso que temos resulta do fato de a superfície da Terra nos «empurrar para cima».

Uma pessoa que cai de um telhado de uma casa não sente, durante a queda, nenhuma força gravitacional. Sente-se «sem peso». Se largar um objeto, ele flutuará a seu lado, exatamente com a mesma aceleração constante (na ausência da resistência do ar).

Mas, como já se explicou, a analogia apresentada dificilmente se pode considerar uma boa representação do que realmente acontece. O exemplo que apresentamos anteriormente permite elucidar de um modo mais correto a curvatura do espaço-tempo, através de efeitos sobre as linhas geodésicas. Em cada ponto do espaço disparamos ou apenas soltamos uma pequena massa de prova e observamos a sua trajetória. De um ponto de seu referencial inercial dispare uma massa em cada um dos seus eixos de coordenadas espaciais e observe: obviamente, se elas continuarem indefinidamente em linha reta, você estará em um espaço-tempo plano (espaço de Minkowski). Caso contrário, as trajetórias poderão lhe dar informações sobre a curvatura na região. Esta é a melhor maneira pela qual podemos esperar descrever um objeto que possui 4 dimensões para seres que vivem em apenas 3 dimensões.

Matemática da relatividade geral |

Ver artigo principal: Matemática da relatividade geral

Para estender as leis da física para o contexto de sistemas de coordenadas gerais, um extenso arsenal de ferramentas matemáticas deve ser dominado. Mesmo antes do advento da Relatividade Geral, na mecânica clássica, por exemplo, uma quantidade enorme de trabalhos foram desenvolvidos para se trabalharem os sistemas físicos em diversos sistemas de coordenadas: sistemas de coordenadas cartesianas, esféricas, cilíndricas, etc. Apesar dos nomes, nenhum destes sistemas de coordenadas utilizados na Física Matemática é geral o bastante para causar alteração na geometria. Eles são formas de se aproveitarem as simetrias do problema e ajudam, portanto, a simplificar a solução. Na Relatividade Geral precisamos estender este conhecimento para transformações de coordenadas que alterem a geometria do espaço-tempo. Para isto são necessárias uma síntese e uma generalização deste conhecimento matemático em um novo cálculo, o Cálculo Tensorial. Por sorte, esta síntese estava sendo criada pelo matemático Tullio Levi-Civita, baseando-se nos trabalhos anteriores de Hamilton e Gregorio Ricci-Curbastro, na mesma época em que Einstein iniciou seu trabalho na Relatividade Geral. De fato, Einstein aprendeu os conceitos diretamente de Levi-Civitta.

Com esta ferramenta nova, podemos generalizar o conceito de cálculo de intervalos do espaço-tempo, introduzindo o tensor métrico para o espaço-tempo:

ds2=gμνdxμdxν{displaystyle ds^{2}=g_{mu nu }dx^{mu }dx^{nu }}

A notação com índices, chamada notação clássica do cálculo tensorial, possui a convenção de que índices repetidos, um superior e outro inferior, representam uma soma no conjunto de índices. No nosso caso estes índices variam de 0 até 3 para representar o tempo (índice 0), e as coordenadas espaciais. Esta é a mesma expressão que obtivemos anteriormente se escrevermos o tensor gij{displaystyle g_{ij}} da Relatividade Restrita de forma matricial como:

gμν=ημν=[10000−10000−10000−1]{displaystyle g_{mu nu }=eta _{mu nu }={begin{bmatrix}1&0&0&0\0&-1&0&0\0&0&-1&0\0&0&0&-1end{bmatrix}}}

O ponto importante a se entender aqui é que, no espaço-tempo curvo, o tensor métrico não possui mais seus elementos constantes como acima. Eles passam a ser funções das coordenadas espaço-temporais que contêm informações sobre a geometria local. Mesmo assim, a expressão para o cálculo de intervalos ainda continua sendo escrita da mesma forma. E isto reflete a ideia básica do cálculo tensorial: permitir escrever quaisquer equações independentemente do sistema de coordenadas utilizado.

O Tensor métrico é a peça fundamental da teoria da Relatividade Geral e é um tensor simétrico, isto é gμν=gνμ{displaystyle g_{mu nu }=g_{nu mu }}. Isto significa que em vez de termos 16 componentes gμν{displaystyle g_{mu nu }}, temos apenas 10 componentes independentes.

O tensor métrico possui informações não só sobre como se calculam as distâncias, mas como se realizam outras operações geométricas em espaços curvos, como o transporte paralelo de vetores e outros objetos matemáticos. É através dele que se obtém a expressão para a curvatura do espaço-tempo e se obtém o Tensor de Einstein, utilizado na equação da Relatividade Geral, que sumariza a interação da geometria com a matéria:

Gμν=Rμν−R2gμν+Λgμν=−8πGc4Tμν{displaystyle G_{mu nu }=R_{mu nu }-{R over 2}g_{mu nu }+Lambda g_{mu nu }={-8pi G over c^{4}}T_{mu nu }}

onde Gμν{displaystyle G_{mu nu }} é o tensor de Einstein, Rμν{displaystyle R_{mu nu }} são as componentes do tensor de curvatura de Ricci, R{displaystyle R} é a curvatura escalar, gμν{displaystyle g_{mu nu }} são as componentes do tensor métrico, Λ{displaystyle Lambda } é a Constante cosmológica, Tμν{displaystyle T_{mu nu }} são as componentes do tensor de tensão-energia que descreve a matéria e energia em um dado ponto do espaço-tempo e G{displaystyle G} é a Constante de gravitação, a mesma da lei de Newton da gravidade. O tensor de Ricci e a curvatura escalar são derivados do tensor métrico, como dito acima.

Soluções da equação de Einstein |

Ver artigo principal: Equações de campo de Einstein

A primeira solução exata para a equação de Einstein foi proposta por Karl Schwarzschild na chamada Métrica de Schwarzschild, e é a solução para o caso de uma massa esférica estacionária, isto é, sem rotação da massa. Esta foi também a primeira solução que descreve um buraco negro.

Soluções da equação de Einstein são obtidas a partir de uma determinada métrica. Propor uma métrica correta é uma parte importante e difícil do problema. Estas são algumas das soluções conhecidas da Equação de Einstein:

1. 
   Métrica de Schwarzschild.


2. 
   Métrica de Kerr, que descreve o caso de uma massa girante esférica.


3. 
   Métrica de Reissner-Nordström, para o caso de uma métrica esférica com carga elétrica.


4. 
   Métrica de Kerr-Newman, para o caso de um massa girante com carga elétrica.


5. 
   Métrica de Friedmann-Robertson-Walker (FRW), usada em cosmologia como modelo de um universo em expansão.


6. 
   Métrica de Gödel, usada em cosmologia como modelo de um universo em rotação.


7. 
   Métrica de ondas-pp que descreve vários tipos de ondas gravitacionais.

As soluções (1), (2), (3) e (4) descrevem buracos negros.

Situação atual |

A relatividade geral tem emergido como um modelo altamente bem-sucedido de gravitação e cosmologia, que até agora tem subsistido a cada prova inequívoca de observação e experimentação. Mesmo assim, há fortes indícios de que a teoria seja incompleta.^[24] O problema da gravitação quântica e a questão da realidade da singularidade gravitacional permanecem abertos. Dados de observação que são tomados como prova de energia escura e matéria escura poderiam indicar a necessidade de uma nova física e, enquanto a chamada Anomalia das Pioneers ainda poderia admitir uma explicação convencional, ela também poderia ser um prenúncio de uma nova física.^[25] Mesmo considerando essas questões, a relatividade geral é rica em possibilidades de exploração adicional. Matemáticos relativistas procuram entender a natureza das singularidades e das propriedades fundamentais das equações de Einstein,^[26] e simulações de computador cada vez mais poderosas (como aquelas que descrevem fusão de buracos negros) são executadas.^[27][28][29] Um século após a sua publicação, a relatividade geral continua a ser uma área muito ativa de investigação.^[30]

Confirmação experimental |

Diversos experimentos têm confirmado as previsões teóricas da relatividade geral. Em dezembro de 2018 foi anunciado mais um resultado: dois grupos que trabalharam de forma independente mediram o efeito do campo gravitacional em relógios atômicos. Os pesquisadores mediram ao longo de três anos a frequência de masers de hidrogênio a bordo de dois satélites do projeto Galileo lançados em 2014 que descrevem órbitas elípticas em torno da Terra. Ao determinarem como a frequência varia em função da altitude, foram capazes de obter um resultado que é 5,6 vezes melhor do que as medidas até então disponíveis.^[31]

Ver também |

• Deflexão da luz


• Cálculo de Ricci


• Propulsão Alcubierre


• Ação de Einstein–Hilbert


• Controvérsia sobre a paternidade da teoria da relatividade


• Geometria e Experiência

Referências

Bibliografia |

• 
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  Friedrich, Helmut (2005). «Is general relativity `essentially understood'?». Annalen Phys. 15: 84–108. doi:10.1002/andp.200510173 
  

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  Penrose, Roger (2004). The Road to Reality. [S.l.]: A. A. Knopf. ISBN 0-679-45443-8 
  

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• 
  Will, Clifford M. (2006). «The Confrontation between General Relativity and Experiment». Living Rev. Relativity 
  

Ligações externas |

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• 
  Relatividade Geral (em português) no Ciência Hoje


• 
  Legado da relatividade (em português) no Scientific American Brasil


• 
  Relatividade (em português) no FisicaNET


• 
  Geometria e experiência (1921) (em português) no SciELO

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