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Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r.{displaystyle r.} O número r{displaystyle r} é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.^[1][2][3]

Definição |

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica (an)n∈N{displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} }} definida recursivamente por:^[2][3]

an=an−1+r,n>1,{displaystyle a_{n}=a_{n-1}+r,quad n>1,}

onde o primeiro termo, a1,{displaystyle a_{1},} é um número dado. O número r{displaystyle r} é chamado de razão da progressão aritmética.

Notamos que:

r=an−an−1,n>1.{displaystyle r=a_{n}-a_{n-1},quad n>1.}

Exemplos |

Alguns exemplos de progressões aritméticas:

• 
  (1, 4, 7, 10, 13, …){displaystyle (1,~4,~7,~10,~13,~ldots )} é uma progressão aritmética em que o primeiro termo a1{displaystyle a_{1}} é igual a 1{displaystyle 1} e a razão r{displaystyle r} é igual a 3.{displaystyle 3.}
  


• 
  (−2, −4, −6, −8, −10, …){displaystyle (-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~ldots )} é uma P.A. em que a1=−2{displaystyle a_{1}=-2} e r=−2.{displaystyle r=-2.}
  


• 
  (6, 6, 6, 6, 6, …){displaystyle (6,~6,~6,~6,~6,~ldots )} é uma P.A. com a1=6{displaystyle a_{1}=6} e r=0.{displaystyle r=0.}
  

Fórmula do termo geral |

O n-ésimo termo de uma progressão aritmética, denotado por an,{displaystyle a_{n},} pode ser obtido por meio da fórmula:^[1][2][3]

an=a1+(n−1)⋅r,{displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)cdot r,}

• 
  a1{displaystyle a_{1}} é o primeiro termo;


• 
  r{displaystyle r} é a razão.

Demonstração |

A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática:

• Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa r e portanto a2=a1+1⋅r;{displaystyle a_{2}=a_{1}+1cdot r;}
  


• Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para n−1,{displaystyle n-1,} ou seja, que an−1=a1+(n−2)⋅r,{displaystyle a_{n-1}=a_{1}+(n-2)cdot r,} resulta que o n-ésimo termo é dado por:

an=an−1+r=(a1+(n−2)⋅r)+r=a1+((n−2)⋅r+r)=a1+(n−1)⋅r.{displaystyle a_{n}=a_{n-1}+r=(a_{1}+(n-2)cdot r)+r=a_{1}+((n-2)cdot r+r)=a_{1}+(n-1)cdot r.}

Propriedades |

Como consequência direta da fórmula do termo geral, vemos que o n{displaystyle n}-ésimo termo de uma P.A. pode ser obtido como função do m{displaystyle m}-ésimo termo por:

an=am+(n−m)⋅r.{displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)cdot r.}

efeito, am+(n−m)r=a1+(m−1)r+(n−m)r=a1+(n−1)r=an.{displaystyle a_{m}+(n-m)r=a_{1}+(m-1)r+(n-m)r=a_{1}+(n-1)r=a_{n}.}

Além disso, também é consequência direta da fórmula do termo geral que:

an=an−1+an+12,n>1{displaystyle a_{n}={frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},quad n>1}

ou seja, a partir do segunda termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor. De fato:

an−1+an+12=a1+(n−2)r+a1+nr2=2(a1+(n−1)r)2=an.{displaystyle {frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}={frac {a_{1}+(n-2)r+a_{1}+nr}{2}}={frac {2(a_{1}+(n-1)r)}{2}}=a_{n}.}

Soma dos termos de uma progressão aritmética |

A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles

A soma dos termos de uma progressão aritmética situados no intervalo fechado de ap{displaystyle a_{p}} até aq{displaystyle a_{q}} é dada pelo produto do número de termos no intervalo, (q - p + 1), pela média aritmética dos extremos do intervalo. Ou seja, pela seguinte fórmula:

S(p,q)=(q−p+1)⋅(ap+aq)2.{displaystyle S_{(p,q)}={frac {(q-p+1)cdot (a_{p}+a_{q})}{2}}.}

Em particular, para somar os n primeiros termos, pode-se utilizar a seguinte simplificação da fórmula anterior:

Sn=n⋅(a1+an)2{displaystyle S_{n}={frac {ncdot left(a_{1}+a_{n}right)}{2}}}

Sn=n2⋅(a1+an){displaystyle S_{n}={frac {n}{2}}cdot left(a_{1}+a_{n}right)}

Exemplo: Seja PA=(10,8,6,4,2),{displaystyle PA=(10,8,6,4,2),} qual é a soma dos 4 primeiros números?

S4=42⋅(10+4)S4=2⋅14S4=28{displaystyle {begin{aligned}S_{4}&={frac {4}{2}}cdot left(10+4right)\S_{4}&=2cdot 14\S_{4}&=28end{aligned}}}

Demonstrações |

Considerando a PA (a1,a2,a3,...,an−1,an),{displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n-1},a_{n}),} a soma Sn{displaystyle S_{n}} de todos os termos dessa progressão pode ser escrita assim:

Sn=a1+a2+...+an−1+an{displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}}

Sn=an+an−1+...+a2+a1{displaystyle S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+...+a_{2}+a_{1}}

Somando membro a membro, obtemos:

2Sn=(a1+an)+(a2+an−1)+...+(an−1+a2)+(an+a1){displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+...+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})}

2Sn=(a1+an)+(a2+an−1)+...+(a2+an−1)+(a1+an){displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+...+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{1}+a_{n})}

Todos os pares entre parênteses têm o mesmo valor por serem simétricos em relação aos extremos da PA

(a2+an−1)=(a1+r+an−r)=(a1+an){displaystyle (a_{2}+a_{n-1})=(a_{1}+r+a_{n}-r)=(a_{1}+a_{n})}

(a3+an−2)=(a1+2r+an−2r)=(a1+an){displaystyle (a_{3}+a_{n-2})=(a_{1}+2r+a_{n}-2r)=(a_{1}+a_{n})}

e assim por diante

2Sn=(a1+an)+(a1+an)+...+(a1+an)+(a1+an){displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+a_{n})+...+(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+a_{n})}

Então, como há n{displaystyle n} pares de termos:

2Sn=(a1+an)⋅n{displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})cdot n}

Sn=(a1+an)⋅n2{displaystyle S_{n}={frac {(a_{1}+a_{n})cdot n}{2}}}

Interpolação aritmética |

Dada uma sequência finita (a1, a2, …, an),{displaystyle (a_{1},~a_{2},~ldots ,~a_{n}),} chamamos a1{displaystyle a_{1}} e an{displaystyle a_{n}} de termos extremos e os demais de termos meios. Interpolação aritmética é o procedimento de inserir (interpolar) k{displaystyle k} meios entre dois números dados a{displaystyle a} e b,{displaystyle b,} de forma a obtermos uma progressão aritmética de n=k+2{displaystyle n=k+2} termos, sendo a{displaystyle a} e b{displaystyle b} seus extremos.^[2]

A P.A. que corresponde a interpolação aritmética de k{displaystyle k} termos meios entre dois números dados a{displaystyle a} e b{displaystyle b} tem primeiro termo a1=a{displaystyle a_{1}=a} e razão:

r=b−ak+1.{displaystyle r={frac {b-a}{k+1}}.}

Com efeito, vemos que tomando n=k+2,{displaystyle n=k+2,} temos a fórmula do termo geral da P.A. nos garante que:

an=a+(k+2−1)b−ak+1=b{displaystyle a_{n}=a+(k+2-1){frac {b-a}{k+1}}=b}

como queríamos.

Tipos de progressões aritméticas |

Progressão aritmética constante |

Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.^[2][3]

Exemplos de progressões aritméticas constantes:

• 
  (5, 5, 5, 5, 5, 5, …){displaystyle (5,~5,~5,~5,~5,~5,~ldots )} tem razão r = 0
  


• 
  (0, 0, 0, 0, 0, 0, …){displaystyle (0,~0,~0,~0,~0,~0,~ldots )} tem razão r = 0
  

Progressão aritmética crescente |

Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).^[2][3]

Exemplos de progressões aritméticas crescentes:

• 
  (2, 4, 6, 8, 10, …){displaystyle (2,~4,~6,~8,~10,~ldots )} com razão r = 2
  


• 
  (3, 6, 9, 12, 15, …){displaystyle (3,~6,~9,~12,~15,~ldots )} com razão r = 3
  

Progressão aritmética decrescente |

Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).^[2][3]

Exemplos de progressões aritméticas decrescentes:

• 
  (6, 4, 2, 0, −2, …){displaystyle (6,~4,~2,~0,~-2,~ldots )} tem razão igual a -2


• 
  (6, 3, 0, −3, −6, …){displaystyle (6,~3,~0,~-3,~-6,~ldots )} tem razão igual a -3

Progressão aritmética de segunda ordem |

Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência de números (an){displaystyle (a_{n})} em que as diferenças entre os termos consecutivos Δan=an+1−an{displaystyle Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n}} forma uma progressão aritmética.^[4] Por exemplo, a sequência:

(1, 3, 7, 13, 21, 31, …){displaystyle (1,~3,~7,~13,~21,~31,~ldots )}

uma progressão aritmética de segunda ordem, onde a diferença entre os termos consecutivos (Δan){displaystyle (Delta a_{n})} é uma progressão aritmética de primeiro termo Δa1=2{displaystyle Delta a_{1}=2} e razão r=2.{displaystyle r=2.}

De forma geral, uma progressão aritmética de ordem k≥2{displaystyle kgeq 2} é uma sequência de números em que as diferenças entre termos consecutivos formam uma progressão aritmética de ordem k−1.{displaystyle k-1.} ^[4][5].

Progressão aritmética de ordem qualquer |

Generalizando-se para o caso de uma sequência de ordem k, as fórmulas abaixo se aplicam para uma sequência de qualquer ordem.
O primeiro termo dessa sequência é aqui designado por r0,{displaystyle r_{0},} a razão primária (diferença entre dois termos consecutivos na sequência primária) por r1{displaystyle r_{1}} a razão secundária (diferença entre dois termos consecutivos na sequência formada pelas razões primárias) por r2,.{displaystyle r_{2},.} .. a razão de ordem k por rk.{displaystyle r_{k}.}
De modo semelhante ao fato de dois pontos serem suficientes para se determinar uma reta, com dois valores de uma sequência de ordem 1 (linear) e a posição que ocupam, é possível escrever a equação dessa sequência.
Para uma sequência de ordem 2, são necessários e suficientes 3 valores.
Em geral, para uma sequência de ordem k{displaystyle k} são necessários k+1{displaystyle k+1} valores.
Para uma sequência de ordem k, o termo geral é calculado por:

an=∑m=0k(n−1m)rm{displaystyle a_{n}=displaystyle sum _{m=0}^{k}{n-1 choose m}r_{m}}

Nota: os coeficientes (n−1m){displaystyle {n-1 choose m}} são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:

(n−1m)=(n−1)!(n−1−m)!(m)!,{displaystyle {n-1 choose m}={frac {(n-1)!}{(n-1-m)!(m)!}},}

n{displaystyle n}

m{displaystyle m}

m≤n−1{displaystyle mleq n-1}

x!=1×2×…x{displaystyle x!=1times 2times ldots x}

O coeficiente binomial (n−1m){displaystyle {n-1 choose m}} corresponde, em análise combinatória, ao número de combinações de n-1 elementos agrupados m a m.

A soma dos primeiros termos da sequência (Sn{displaystyle S_{n}}) é calculada por:

Sn=∑m=0k(nm+1)rm{displaystyle S_{n}=displaystyle sum _{m=0}^{k}{n choose m+1}r_{m}}

Exemplificando:
1) Determinar o termo geral da sequência {4, 9, 16, 25, 36, 49...}. Sendo an{displaystyle a_{n}} o n-ésimo termo dessa sequência. É possível ver que se trata de uma sequência de segunda ordem porque a razão secundária é constante (neste caso é igual a 2), como mostrado abaixo. Generalizando, em uma sequência de ordem k, a sua razão de ordem k é constante.

r0=a1=4{displaystyle r_{0}=a_{1}=4}

r1=a2−a1=9−4=5{displaystyle r_{1}=a_{2}-a_{1}=9-4=5}

r2=(16−9)−(9−4)=2{displaystyle r_{2}=(16-9)-(9-4)=2}

r2=(25−16)−(16−9)=2{displaystyle r_{2}=(25-16)-(16-9)=2}

r2=(36−25)−(25−16)=2{displaystyle r_{2}=(36-25)-(25-16)=2}

      ⋮{displaystyle ~~~~~~vdots }

r2=(an−an−1)−(an−1−an−2)=2{displaystyle r_{2}=(a_{n}-a_{n-1})-(a_{n-1}-a_{n-2})=2}

Aplicando-se a fórmula:

an=∑m=02(n−1m)rm=(n−10)r0+(n−11)r1+(n−12)r2{displaystyle a_{n}=displaystyle sum _{m=0}^{2}{n-1 choose m}r_{m}={n-1 choose 0}r_{0}+{n-1 choose 1}r_{1}+{n-1 choose 2}r_{2}}

an=(n−10)4+(n−11)5+(n−12)2{displaystyle a_{n}={n-1 choose 0}4+{n-1 choose 1}5+{n-1 choose 2}2}

an=4+5(n−1)+2(n−1)(n−2)2=1+2n+n2=(n+1)2{displaystyle a_{n}={4}+{5(n-1)}+{frac {2(n-1)(n-2)}{2}}={1}+{2n}+{n^{2}}={(n+1)^{2}}}

an=(n+1)2{displaystyle a_{n}={(n+1)^{2}}}

Sn{displaystyle S_{n}}

Sn=∑m=02(nm+1)rm{displaystyle S_{n}=displaystyle sum _{m=0}^{2}{n choose m+1}r_{m}}

Sn=(n1)4+(n2)5+(n3)2{displaystyle S_{n}={n choose 1}4+{n choose 2}5+{n choose 3}2}

Sn=n(4+5(n−1)2+(n−1)(n−2)3){displaystyle S_{n}={n}left(4+{frac {5(n-1)}{2}}+{frac {(n-1)(n-2)}{3}}right)}

3) Em uma sequência de terceira ordem, o sétimo termo é igual a 345, o décimo termo é igual a 1002, o décimo quinto termo é igual a 3377 e o vigésimo quinto termo é igual a 15627.

a) Determine o trigésimo termo dessa sequência.

b) Escreva a equação que determina o n-ésimo termo dessa sequência em função de n.{displaystyle n.}

a) Usando-se os dados fornecidos (em azul) na fórmula do rn:{displaystyle r_{n}:}

an=∑m=0k(n−1m)rm{displaystyle a_{n}=displaystyle sum _{m=0}^{k}{n-1 choose m}r_{m}}

a7=∑m=03(7−1m)rm=∑m=03(6m)rm.{displaystyle a_{7}=sum _{m=0}^{3}{7-1 choose m}r_{m}=sum _{m=0}^{3}{6 choose m}r_{m}.}

Como a7=345,{displaystyle a_{7}=345,} vem:

345=r0+r1(61)+r2(62)+r3(63){displaystyle 345=r_{0}+r_{1}{6 choose 1}+r_{2}{6 choose 2}+r_{3}{6 choose 3}}

Da mesma forma, para os outros dados:

1002=r0+r1(10−11)+r2(10−12)+r3(10−13)=r0+r1(91)+r2(92)+r3(93){displaystyle {color {blue}1002}=r_{0}+r_{1}{{color {blue}10}-1 choose 1}+r_{2}{{color {blue}10}-1 choose 2}+r_{3}{{color {blue}10}-1 choose 3}=r_{0}+r_{1}{9 choose 1}+r_{2}{9 choose 2}+r_{3}{9 choose 3}}

3377=r0+r1(15−11)+r2(15−12)+r3(15−13)=r0+r1(141)+r2(142)+r3(143){displaystyle {color {blue}3377}=r_{0}+r_{1}{{color {blue}15}-1 choose 1}+r_{2}{{color {blue}15}-1 choose 2}+r_{3}{{color {blue}15}-1 choose 3}=r_{0}+r_{1}{14 choose 1}+r_{2}{14 choose 2}+r_{3}{14 choose 3}}

15627=r0+r1(25−11)+r2(25−12)+r3(25−13)=r0+r1(241)+r2(242)+r3(243){displaystyle {color {blue}15627}=r_{0}+r_{1}{{color {blue}25}-1 choose 1}+r_{2}{{color {blue}25}-1 choose 2}+r_{3}{{color {blue}25}-1 choose 3}=r_{0}+r_{1}{24 choose 1}+r_{2}{24 choose 2}+r_{3}{24 choose 3}}

r0+6r1+15r2+20r3=345r0+9r1+36r2+84r3=1002r0+14r1+91r2+364r3=3377r0+24r1+276r2+2024r3=15627{displaystyle {begin{matrix}r_{0}+6r_{1}+15r_{2}+20r_{3}=345\r_{0}+9r_{1}+36r_{2}+84r_{3}=1002\r_{0}+14r_{1}+91r_{2}+364r_{3}=3377\r_{0}+24r_{1}+276r_{2}+2024r_{3}=15627\end{matrix}}}

(S){displaystyle (S)}

S={r0=3r1=7r2=12r3=6}{displaystyle S={begin{Bmatrix}r_{0}=3\r_{1}=7\r_{2}=12\r_{3}=6\end{Bmatrix}}}

n=30,{displaystyle n=30,}

a30:{displaystyle a_{30}:}

a30=∑m=03(30−1m)rm{displaystyle a_{30}=displaystyle sum _{m=0}^{3}{30-1 choose m}r_{m}}

a30=r0+r1(30−11)+r2(30−12)+r3(30−13)=r0+r1(291)+r2(292)+r3(293){displaystyle a_{30}=r_{0}+r_{1}{{color {blue}30}-1 choose 1}+r_{2}{{color {blue}30}-1 choose 2}+r_{3}{{color {blue}30}-1 choose 3}=r_{0}+r_{1}{29 choose 1}+r_{2}{29 choose 2}+r_{3}{29 choose 3}}

a30=3+7(30−11)+12(30−12)+6(30−13)=3+7(291)+12(292)+6(293){displaystyle a_{30}=3+7{{color {blue}30}-1 choose 1}+12{{color {blue}30}-1 choose 2}+6{{color {blue}30}-1 choose 3}=3+7{29 choose 1}+12{29 choose 2}+6{29 choose 3}}

a30=27002{displaystyle a_{30}=27002}

b) De modo semelhante ao usado no exemplo 1, agora que possuímos os valores das razões r0,r1,r2{displaystyle r_{0},r_{1},r_{2}} e r3,{displaystyle r_{3},} basta substituir os seus valores na fórmula de an:{displaystyle a_{n}:}

an=∑m=0k(n−1m)rm{displaystyle a_{n}=displaystyle sum _{m=0}^{k}{n-1 choose m}r_{m}}

an=∑m=03(n−1m)rm{displaystyle a_{n}=displaystyle sum _{m=0}^{3}{n-1 choose m}r_{m}}

an=3+7(n−11)+12(n−12)+6(n−13).{displaystyle a_{n}=3+7{n-1 choose 1}+12{n-1 choose 2}+6{n-1 choose 3}.}

an=n3+2{displaystyle a_{n}=n^{3}+2}

(n−1m)+(n−1m+1)=(nm+1).{displaystyle {n-1 choose m}+{n-1 choose m+1}={n choose m+1}.}

∑m=0k(n−1m)rm⏟an+∑m=0k(n−1m+1)rm⏟Sn−1=∑m=0k(nm+1)rm⏟Sn{displaystyle {begin{matrix}underbrace {displaystyle sum _{m=0}^{k}{n-1 choose m}r_{m}} \a_{n}end{matrix}}+{begin{matrix}underbrace {displaystyle sum _{m=0}^{k}{n-1 choose m+1}r_{m}} \S_{n-1}end{matrix}}={begin{matrix}underbrace {displaystyle sum _{m=0}^{k}{n choose m+1}r_{m}} \S_{n}end{matrix}}}

∑i=mn(xi±yi)=∑i=mnxi±∑i=mnyi{displaystyle sum _{i=m}^{n}(x_{i}pm y_{i})=sum _{i=m}^{n}x_{i}pm sum _{i=m}^{n}y_{i}} que, multiplicando-se os dois lados da equação por um número r,{displaystyle r,} esta se torna:

(∑i=mn(xi±yi))⋅r=(∑i=mnxi)⋅r±(∑i=mnyi)⋅r{displaystyle {Bigg (}sum _{i=m}^{n}(x_{i}pm y_{i}){Bigg )}cdot r={Bigg (}sum _{i=m}^{n}x_{i}{Bigg )}cdot rpm {Bigg (}sum _{i=m}^{n}y_{i}{Bigg )}cdot r}

esse fato já demonstra as fórmulas apresentadas sobre as sequências aritméticas de ordem n.{displaystyle n.} A fórmula é válida para n={1,2,⋯},{displaystyle n={1,2,cdots },} ou seja,

S0⏟0=S1−a1,{displaystyle {begin{matrix}underbrace {S_{0}} \0end{matrix}}=S_{1}-a_{1},}

S1(=a1)=S2−a2,{displaystyle S_{1}(=a_{1})=S_{2}-a_{2},}

⋯{displaystyle cdots }

Sn−1(=an−1)=Sn−an,{displaystyle S_{n-1}(=a_{n-1})=S_{n}-a_{n},} que equivale à expressão mostrada acima.

Progressões Aritmético-Geométricas |

São progressões aritméticas e geométricas ao mesmo tempo. Considere uma seqüência (an){displaystyle (a_{n})} cujo termo geral é an=(a0+nr)qn,{displaystyle a_{n}=(a_{0}+nr)q^{n},} com n∈N.{displaystyle nin mathbb {N} .}

Veja que se q=1{displaystyle q=1} ela se reduz à fórmula do termo geral de uma progressão aritmética (an=a0+nr{displaystyle a_{n}=a_{0}+nr}) e se r=0,{displaystyle r=0,} temos a fórmula de uma progressão geométrica, (an=a0⋅qn{displaystyle a_{n}=a_{0}cdot q^{n}}).

A fórmula para a soma dos n{displaystyle n} primeiros termos dessa sequência ^[6] é:

Sn=a0+q⋅(qn(a0+r⋅(1−n)−a0q−1)−a0+r)(q−1)2{displaystyle S_{n}={frac {a_{0}+qcdot (q^{n}(a_{0}+rcdot (1-n)-a_{0}q-1)-a0+r)}{(q-1)^{2}}}}

Ver também |

• Progressão geométrica


• Sequência


• Carl Friedrich Gauss


• Função

Referências

v • e Séries e Sequência
Aritmética sequência	Séries divergentes 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ Infinita série aritmética
Geométrica sequência	Série convergente 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ Divergente séries geométrica 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Série de Grandi) Potência de 2 Potência de 10
Hipergeométrica sequências	Função geral hipergeométrica Função hipergeométrica de um argumento matriz Função de Lauricella Função modular hipergeométrica Equação diferencial de Riemann Função Theta hipergeométrica
Inteiros sequência	Completa Cubo Fatorial Número de Fibonacci Número figurado Número heptagonal Número hexagonal Lista de sequências Sequência de Lucas Número de Pell Número pentagonal Número poligonal Quadrado perfeito Número triangular
Outras sequências	Séries divergentes 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ Sequência periódica

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