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Tabela Price, também chamado de sistema francês de amortização, é um método usado em amortização de empréstimo cuja principal característica é apresentar prestações (ou parcelas) iguais. O método foi apresentado em 1771 por Richard Price em sua obra "Observações sobre Pagamentos Remissivos" (em inglês: Observations on Reversionary Payments^[1]).

O método foi idealizado pelo seu autor para pensões e aposentadorias. No entanto, foi a partir da 2ª revolução industrial que sua metodologia de cálculo foi aproveitada para cálculos de amortização de empréstimo.

Cálculo |

A tabela Price usa o regime de juros compostos para calcular o valor das parcelas de um empréstimo e, dessa parcela, há uma proporção relativa ao pagamento de juros e amortização do valor emprestado.

Tomemos como exemplo um empréstimo de $ 1.000,00 com taxa de juros de 3% ao mês a ser pago em 4 parcelas mensais. Para calcular o valor da parcela, deve-se usar a fórmula de juros compostos combinada com a da progressão geométrica, resultando em:

pmt=PV∗(1+i)n∗i(1+i)n−1{displaystyle pmt=PV*{frac {(1+i)^{n}*i}{(1+i)^{n}-1}}}

bem como outras fórmulas equivalentes abaixo:

pmt=PVi1−1(1+i)n{displaystyle pmt={frac {PVi}{1-{frac {1}{left(1+iright)^{n}}}}}}

ou

pmt=PV∗i1−(1+i)−n{displaystyle pmt=PV*{frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}}

, onde:

• 
  pmt:{displaystyle pmt:} Valor da parcela (do inglês payment)


• 
  PV:{displaystyle PV:} Valor Presente (do inglês Present Value)


• 
  i:{displaystyle i:} Taxa de juros (do inglês Interest Rate)


• 
  n:{displaystyle n:} Número de períodos

No caso do exemplo, o cálculo da parcela pmt{displaystyle pmt} é:

pmt=1000∗0,031−1(1+0,03)4≈269,03{displaystyle pmt=1000*{frac {0,03}{1-{frac {1}{left(1+0,03right)^{4}}}}}approx 269,03}

Um mês depois do empréstimo, o saldo devedor cresce 3% indo para $ 1.030,00, porém, como também deve ocorrer o pagamento de $ 269,03, o saldo devedor passa a ser $ 760,97. Perceba que o pagamento da parcela cobriu os juros de $ 30,00 e também fez a amortização de $ 239,03 (1.000,00 - 760,97) do valor emprestado. O mesmo ocorre nos meses seguintes, porém, como o saldo devedor diminui a cada mês, o valor das parcelas relativo ao pagamento dos juros é decrescente.

Período n{displaystyle n}	Saldo Devedor PV{displaystyle PV} - A	Parcela pmt{displaystyle pmt}	Juros J{displaystyle J}	Amortização (A) pmt−J{displaystyle pmt-J}
0	1.000,00
1	760,97	269,03	30,00	239,03
2	514,77	269,03	22,83	246,20
3	261,19	269,03	15,45	253,58
4	0,00	269,03	7,84	261,19

• Em Price, a expressão (1+i)n∗i(1+i)n−1{displaystyle {(1+i)^{n}*i} over {(1+i)^{n}-1}} é chamada de Fator de Recuperação de Capital.

Amortizações em Price |

No sistema Price, os valores das amortizações obedecem a uma progressão geométrica em função do Fator de Rendimento, conforme a expressão An=A1⋅(1+i)n−1{displaystyle A_{n}=A_{1}cdot (1+i)^{n-1}}.

Demonstração:

A partir do exemplo anterior, com taxa de 3% a.m. e valor da 1ª amortização A1=239,03{displaystyle A_{1}=239,03}, então, o valor da 4ª amortização se dá conforme: A4=239,03⋅(1+0,03)4−1=261,19{displaystyle A_{4}=239,03cdot (1+0,03)^{4-1}=261,19}.

Descapitalização das parcelas no tempo |

A fórmula de cálculo para o Valor Presente (PV){displaystyle (PV)}, em Price, é equivalente às somas das descapitalizações das parcelas (pmt){displaystyle (pmt)} no tempo, conforme as expressões a seguir:

PV=pmt(1+i)n∗i(1+i)n−1=∑j=1npmt(1+i)j{displaystyle PV={frac {pmt}{frac {(1+i)^{n}*i}{(1+i)^{n}-1}}}=sum _{text{j=1}}^{n}{frac {pmt}{(1+i)^{j}}}}

Demonstração

Tomando por base o exemplo anterior, onde o montante de $ 1.000,00 à taxa de 3% a.m., durante 4 meses, resultando na parcela de $ 269,03 ao mês, a soma das descapitalizações dessas parcelas se dá conforme a seguir:

1.000,00≈269,03(1+0,03)1+269,03(1+0,03)2+269,03(1+0,03)3+269,03(1+0,03)4{displaystyle 1.000,00approx {frac {269,03}{(1+0,03)^{1}}}+{frac {269,03}{(1+0,03)^{2}}}+{frac {269,03}{(1+0,03)^{3}}}+{frac {269,03}{(1+0,03)^{4}}}}

Nesse exemplo, o montante inicial se equipara às descapitalizações das parcelas pagas em cada período trazidas para a data presente, demonstrando, portanto, o valor presente líquido (VPL) do financiamento e a equivalência com o cálculo de Richard Price.

Polêmica sobre os juros |

Não existem questionamentos sobre se a Tabela Price emprega juros simples ou juros compostos.

Richard Price, criador do método, afirma que suas tabelas são construídas por juros compostos (p.262-287,1803- 1812), jamais mencionando a existência de cobrança de juros sobre juros acumulados no empréstimo. Ainda, em julho de 2004, diversos autores de matemática financeira do Brasil assinaram um manifesto afirmando que a Tabela Price é construída com base no regime de capitalização por juros compostos^[2]

Autores afirmam que o Sr. Price tomou as Tabelas de Juro Composto já existentes e incorporou ao seu livro para poupar os seus leitores de procurá-las em outros livros.

Destaca-se também que Calculadora do Cidadão, aplicativo elaborado pelo Banco Central do Brasil, descreve a referida metodologia como concebida pelo regime de juros compostos.^[3]

Ver também |

• Sistema de Amortização Constante


• Sistema de Amortização Americano


• Sistema de Amortização Misto

Referências

Bibliografia |

• BOYER, C. História da matemática. São Paulo, Edgard Blücher, 2002.


• CAVALHEIRO, Luiz A.F. Elementos de Matemática Financeira. Rio de Janeiro, Editora FGV, 11a ed., 1989.


• NOGUEIRA, José Jorge Meschiatti. Tabela Price: da Prova Documental e Precisa Elucidação do seu Anatocismo, Servanda Ed., 2002.


• NOGUEIRA, José Jorge Meschiatti. Tabela Price: Mitos e Paradigma Ed.Millennium, 2008.


• PEREIRA, Ernesto Luiz de Assis. Amortização de financiamentos por juros simples para o Sistema Financeiro da Habitação. Modelo de Gauss. No prelo


• PRICE, Richard. Observations on Reversionary Payments. Londres: Ed. T. Cadell, 4ª ed., 1783; 6ª ed., 1803; e 7ª ed., 1812.


• ROVINA, Edson. Tabela Price- verdades que incomodam. Disponível em <http://www.procon.sp.gov.br> capturado em 08/2007.


• SILVA, André Luiz Carvalhal. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Ed. Atlas, 2005.


• CAMPOS FILHO, Ademar et al. Declaração em defesa de uma Ciência Matemática e Financeira. Disponível no site do Sindicato dos Economistas do Estado de São Paulo, www.sindecon-esp.org.br/force_download.php?file=arq_sys/neodownload/defesa150704.pdf&name=defesa 150704.pdf. Acesso em 9/2006.


• LEWIN, F. I. A.; Early, F.S.S, N. Book on Compound Interest, Richard Witt’s Arithmeticall Questions. JIA, 1970, p. 121-132.


• MARX, Karl. O Capital: Crítica da Economia Política; O Processo Global de Produção Capitalista. Cap. XXIV, vol. V, l. III . São Paulo: Nova Cultural, p. 455-456.


• FIGUEIREDO, Alcio Manoel de Sousa. Tabela Price & Capitalização de Juros. Editora: Juruá ,2004