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Diagrama mostrando uma série geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converge para 2.

Uma progressão geométrica (abreviada como P.G.) é uma sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica.^[1] A razão é indicada geralmente pela letra q{displaystyle q} (inicial da palavra "quociente").

Alguns exemplos de progressão geométrica:

• 
  (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,…),{displaystyle left(1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,ldots right),} em que q=2{displaystyle q=2} e a1=1{displaystyle a_{1}=1};^[1]
  


• 
  (1,12,14,18,116,132,164,1128,1256,…),{displaystyle left(1,{frac {1}{2}},{frac {1}{4}},{frac {1}{8}},{frac {1}{16}},{frac {1}{32}},{frac {1}{64}},{frac {1}{128}},{frac {1}{256}},ldots right),} em que q=12{displaystyle q={frac {1}{2}}} e a1=1{displaystyle a_{1}=1};


• 
  (−3,9,−27,81,−243,729,−2187,…),{displaystyle left(-3,9,-27,81,-243,729,-2187,ldots right),} em que q=−3{displaystyle q=-3} e a1=−3{displaystyle a_{1}=-3};


• 
  (7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,…),{displaystyle left(7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,ldots right),} em que q=1{displaystyle q=1} e a1=7{displaystyle a_{1}=7};


• 
  (3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,…),{displaystyle left(3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,ldots right),} em que q=0{displaystyle q=0} e a1=3{displaystyle a_{1}=3};

Definição por recursão e fórmula do termo geral |

Costuma-se denotar por an{displaystyle a_{n}} o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial a1{displaystyle a_{1}} e sua razão q.

A sucessão dos termos é obtida por recursão:

• an=a1,n=1;{displaystyle a_{n}=a_{1},n=1;}


• an+1=q⋅an,n=2,3,4,….{displaystyle a_{n+1}=qcdot a_{n},n=2,3,4,ldots .}

É fácil demonstrar por indução matemática que

an=a1.qn−1.{displaystyle a_{n}=a_{1}.q^{n-1}.}

De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:

an=am qn−m,  n>m.{displaystyle a_{n}=a_{m} q^{n-m},~~n>m.}

Soma dos termos de uma P.G. |

A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por

Sn=∑i=1na1qi−1=a1+a1q+a1q2+…+a1qn−1.{displaystyle S_{n}=sum _{i=1}^{n}a_{1}q^{i-1}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+ldots +a_{1}q^{n-1}.}

Caso q≠1,{displaystyle qneq 1,} a soma pode ser descrita pela seguinte fórmula:

Sn=a1(qn−1)q−1{displaystyle S_{n}={frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}}

Demonstração |

Essa fórmula pode ser explicada dessa maneira:

Sn=a1+a1 q+…+a1 qn−1.{displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{1} q+ldots +a_{1} q^{n-1}.}

Multiplica-se pela razão q:{displaystyle q:}

q Sn=a1 q+a1 q2+…+a1 qn.{displaystyle q S_{n}=a_{1} q+a_{1} q^{2}+ldots +a_{1} q^{n}.}

Subtrai-se a segunda da primeira (qSn - Sn), pois qSn >= Sn, se fizer o contrário irá sempre gerar um valor negativo. Cancelam-se os termos repetidos:

q Sn−Sn=a1 qn−a1,{displaystyle q S_{n}-S_{n}=a_{1} q^{n}-a_{1},}

o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a

(q−1)Sn=a1(qn−1).{displaystyle left(q-1right)S_{n}=a_{1}left(q^{n}-1right).}

Divide-se ambos os termos por (q−1)≠0{displaystyle (q-1)neq 0} e o resultado segue.

Soma dos termos dentro de um intervalo da P.G. |

A soma dos termos de uma progressão geométrica situados no intervalo fechado de ap{displaystyle a_{p}} até aq{displaystyle a_{q}} é calculada pela seguinte fórmula:

S(p,q)=ap(1−qq−p+1)1−q.{displaystyle S_{(p,q)}={frac {a_{p}(1-q^{q-p+1})}{1-q}}.}

Soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica |

Ver artigo principal: série geométrica

A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando |q|<1.{displaystyle |q|<1.} Sua soma é:

S∞=∑n=1∞a1qn−1=a11−q.{displaystyle S_{infty }=sum _{n=1}^{infty }a_{1}q^{n-1}={frac {a_{1}}{1-q}}.}

Se q≥1{displaystyle qgeq 1} e a1>0{displaystyle a_{1}>0} então sua soma é mais infinito e se q≥1{displaystyle qgeq 1} e a1<0,{displaystyle a_{1}<0,} sua soma é menos infinito.

S∞={a11−q,|q|<1+∞,q≥1,a1>0−∞,q≥1,a1<00,a1=0.{displaystyle S_{infty }=left{{begin{array}{ll}{frac {a_{1}}{1-q}},&|q|<1\+infty ,&qgeq 1,a_{1}>0\-infty ,&qgeq 1,a_{1}<0\0,&a_{1}=0.end{array}}right.}

Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Ver o caso q≤−1,{displaystyle qleq -1,} por exemplo. q{displaystyle q} pode ser um número complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.

Produto dos termos de uma progressão geométrica |

O produto dos termos de uma progressão geométrica, a partir do primeiro, é dada por

Pn=a1n.qn.(n−1)2,{displaystyle P_{n}=a_{1}^{n}.q^{frac {n.(n-1)}{2}},}

e também pode ser determinado sem o conhecimento da razão:

Pn=∏i=1nai=(a1×an)n2,{displaystyle P_{n}=prod _{i=1}^{n}a_{i}=(a_{1}times a_{n})^{frac {n}{2}},}

sendo similar à forma do somatório de uma progressão aritmética.

Tipos de progressões geométricas |

Progressão geométrica constante |

Uma progressão geométrica constante é toda P.G em que todos os termos são iguais, sendo que para isso sua razão q{displaystyle q} deve ser igual a 1.

Exemplos de progressões geométricas constantes :

• 
  (4,4,4,4,4,4,4,4,...){displaystyle (4,4,4,4,4,4,4,4,...)} tem razão q=1{displaystyle q=1} e primeiro termo a1=4{displaystyle a_{1}=4}
  


• 
  (6,6,6,6,6,6,6,6,...){displaystyle (6,6,6,6,6,6,6,6,...)} tem razão q=1{displaystyle q=1} e primeiro termo a1=6{displaystyle a_{1}=6}
  

Progressão geométrica crescente |

Uma progressão geométrica crescente é toda P.G em que a razão q{displaystyle q} é superior a 1 e seu primeiro termo a1{displaystyle a_{1}} é superior a 0 ou quando sua razão q{displaystyle q} está entre 0 e 1 e seu primeiro termo a1{displaystyle a_{1}} é inferior a 0. Obedecendo assim a ordem: q>1{displaystyle q>1} e a1>0{displaystyle a_{1}>0} ou 0<q<1{displaystyle 0<q<1} e a1<0{displaystyle a_{1}<0}.

Exemplos de progressões geométricas crescentes:

• 
  (1,3,9,27,81,...){displaystyle (1,3,9,27,81,...)} tem razão q=3{displaystyle q=3} e primeiro termo a1=1{displaystyle a_{1}=1}.


• 
  (−4;−2;−1;−0,5;−0,25;...){displaystyle (-4;-2;-1;-0,5;-0,25;...)} tem razão q=0,5{displaystyle q=0,5} e primeiro termo a1=−4{displaystyle a_{1}=-4}.

Progressão geométrica decrescente |

Uma progressão geométrica decrescente é toda P.G em que a razão q{displaystyle q} é superior a 1 e seu primeiro termo a1{displaystyle a_{1}} é inferior a 0 ou quando sua razão q{displaystyle q} está entre 0 e 1 e seu primeiro termo a1{displaystyle a_{1}} é superior a 0. Obedecendo assim a ordem: q>1{displaystyle q>1} e a1<0{displaystyle a_{1}<0} ou 0<q<1{displaystyle 0<q<1} e a1>0{displaystyle a1>0}.

Exemplos de progressões geométricas decrescentes:

• 
  (−4,−8,−16,−32,−64,...){displaystyle (-4,-8,-16,-32,-64,...)} tem razão q=2{displaystyle q=2} e primeiro termo a1=−4{displaystyle a_{1}=-4}.


• 
  (64,32,16,8,4,...){displaystyle (64,32,16,8,4,...)} tem razão q=1/2{displaystyle q=1/2} e primeiro termo a1=64{displaystyle a_{1}=64}.

Progressão geométrica oscilante |

Uma progressão geométrica oscilante é toda P.G em que a razão q{displaystyle q} é um número negativo, fazendo com que a sequência numérica intercale entre números positivos e negativos. Sendo assim, obedece a ordem: q<0{displaystyle q<0}.

Exemplos de progressões geométricas oscilantes:

• 
  (3,−6,12,−24,48,...){displaystyle (3,-6,12,-24,48,...)} tem razão q=−2{displaystyle q=-2} e primeiro termo a1=3{displaystyle a_{1}=3}.


• 
  (4,−16,64,−256,1024,...){displaystyle (4,-16,64,-256,1024,...)} tem razão q=−4{displaystyle q=-4} e primeiro termo a1=4{displaystyle a_{1}=4}.

Exemplo de progressão geométrica |

Abaixo temos uma tabela na qual o termo an=1=2{displaystyle a_{n=1}=2} e o termo an=2=6{displaystyle a_{n=2}=6}, e assim sucessivamente em progressão geométrica.

Pn=a1⋅q(n−1){displaystyle P_{n}=a_{1}cdot q^{(n-1)}} onde q=a2(6)a1(2)=3{displaystyle q={frac {a_{2}(6)}{a_{1}(2)}}=3}

n{displaystyle n}	a{displaystyle a}
1	2
2	6
3	18
4	54
5	162
6	486
7	1.458
8	4.374
9	13.122
10	39.366
11	118.098
12	354.294
13	1.062.882
14	3.188.646
15	9.565.938
16	28.697.814
17	86.093.442
18	258.280.326
19	774.840.978
20	2.324.522.934

• Qual é o 8º termo da PG acima?

P8=2⋅3(8−1)=2⋅37=2⋅2.187=4.374{displaystyle {begin{aligned}P_{8}&=2cdot 3^{(8-1)}\&=2cdot 3^{7}\&=2cdot 2.187\&=4.374end{aligned}}}

Enésimo termo de uma PG |

É possível a obtenção do enésimo termo da progressão geométrica dado dois outros termos quaisquer, conforme explicações:

Inicialmente é necessário obter-se o quociente(q{displaystyle q}).

q=PnPmn−m{displaystyle {begin{aligned}q&={sqrt[{n-m}]{frac {P_{n}}{P_{m}}}}end{aligned}}}

Após obtido o quociente(q{displaystyle q}) o enésimo(e{displaystyle e}) termo procurado se encontra a partir da sua distância em relação ao termo n{displaystyle n}, ou seja, (n−e){displaystyle (n-e)}.

Pe=Pnq(n−e){displaystyle {begin{aligned}P_{e}&={frac {Pn}{{q}^{(n-e)}}}end{aligned}}}

Exemplo ilustrativo

Dado que uma Progressão Geométrica tem o 5º termo(m{displaystyle m}) igual a 1.250 e o 8º termo(n{displaystyle n}) igual a 156.250, qual é o valor do 2º termo(e{displaystyle e})?

q=156.2501.2508−5q=1253q=5{displaystyle {begin{aligned}q&={sqrt[{8-5}]{frac {156.250}{1.250}}}\q&={sqrt[{3}]{125}}\q&=5end{aligned}}}

Agora usando o quociente (q{displaystyle q}) na fórmula do enésimo termo (Pe{displaystyle P_{e}}).

Pe=156.2505(8−2)Pe=156.25056Pe=156.25015.625Pe=10{displaystyle {begin{aligned}P_{e}&={frac {156.250}{5^{(8-2)}}}\P_{e}&={frac {156.250}{5^{6}}}\P_{e}&={frac {156.250}{15.625}}\P_{e}&=10end{aligned}}}

O 2º termo da PG dada é igual a 10.

Ver também |

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
	Livros e manuais no Wikilivros

• Progressão aritmética


• Progressão aritmético-geométrica


• Logaritmo


• Função exponencial


• 
  Número de Fibonacci - a sequência de Fibonacci é a soma de duas progressões geométricas


• Série geométrica

Referências

v • e Séries e Sequência
Aritmética sequência	Séries divergentes 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ Infinita série aritmética
Geométrica sequência	Série convergente 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ Divergente séries geométrica 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Série de Grandi) Potência de 2 Potência de 10
Hipergeométrica sequências	Função geral hipergeométrica Função hipergeométrica de um argumento matriz Função de Lauricella Função modular hipergeométrica Equação diferencial de Riemann Função Theta hipergeométrica
Inteiros sequência	Completa Cubo Fatorial Número de Fibonacci Número figurado Número heptagonal Número hexagonal Lista de sequências Sequência de Lucas Número de Pell Número pentagonal Número poligonal Quadrado perfeito Número triangular
Outras sequências	Séries divergentes 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ Sequência periódica

• Portal da matemática