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Em matemática, dado um conjunto X{displaystyle X,} com uma relação de equivalência ∼{displaystyle sim ,}, a classe de equivalência de um elemento a∈X{displaystyle ain X,} é o subconjunto de todos os elementos de X{displaystyle X,} que são equivalentes a a{displaystyle a,}.

• [a]={x∈X|a∼x}{displaystyle [a]={xin Xquad |quad asim x}}

Exemplo |

• Seja ~ a relação de equivalência definida no conjunto dos números inteiros Z{displaystyle mathbb {Z} ,} por x ~ y quando x - y for um número par. Então …=[−3]=[−1]=[1]=[3]=…{displaystyle ldots =[-3]=[-1]=[1]=[3]=ldots ,} é uma classe de equivalência, o conjunto dos número ímpares. Analogamente, …=[−2]=[0]=[2]=…{displaystyle ldots =[-2]=[0]=[2]=ldots ,} é outra classe de equivalência.

Propriedades |

• Se x∼y⇒[x]=[y]{displaystyle xsim yRightarrow [x]=[y]};


• Classes de equivalência diferentes não tem elementos em comum: Se [x]≠[y]{displaystyle [x]neq [y]} então [x]∩[y]=∅{displaystyle [x]cap [y]=varnothing };


• Estas duas propriedades acima podem ser resumidas na seguinte: ∀x,y∈X ([x]=[y] ∨ [x]∩[y]=∅){displaystyle forall x,yin X ([x]=[y] lor [x]cap [y]=varnothing )};


• A união de todas as classes de equivalência de um conjunto é igual ao próprio conjunto: X = ∪∀x∈X{displaystyle cup _{forall xin X}} [x].

Podemos reunir todas as classes de equivalência de X em um conjunto chamado conjunto quociente de X:

X/∼={[x]|x∈X}{displaystyle X/sim ={[x]quad |quad xin X}}

Note que, como para cada elemento x∈X{displaystyle xin X} podemos associar um elemento de [x]∈X/∼{displaystyle [x]in X/sim }, existe uma função natural de X→X/∼{displaystyle Xrightarrow X/sim }. Esta função é chamada de projeção canônica.

Representantes |

Uma questão importante com uma resposta não trivial é em que condições podemos escolher, para cada classe de equivalência, um único elemento, formando, assim, um conjunto de representantes?

Para ilustrar, vamos construir o conjunto de Vitali: ele parte da relação de equivalência em [0,1]∈R{displaystyle left[0,1right]in mathbb {R} ,} definida por x∼y↔x−y∈Q{displaystyle xsim yleftrightarrow x-yin mathbb {Q} ,}, e tenta obter um elemento de cada classe de equivalência. O problema é que não existe nenhuma regra explícita que permite fazer essa escolha.

Na teoria dos conjuntos, esse problema é resolvido pelo axioma da escolha, cuja forma equivalente, para classes de equivalência, é:

Seja ∼{displaystyle sim ,} uma relação de equivalência em um conjunto X. Então existe um conjunto X1⊂X{displaystyle X_{1}subset X,} que contém um (e apenas um) elemento de cada classe de equivalência.

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