Adição
Nota: Se procura dependência de substâncias químicas, veja Drogadição.
Adição é uma das operações básicas da aritmética.[1][2] Na sua forma mais simples, a adição combina dois números em um único número, denominado soma, total ou resultado.[1] Adicionar mais números corresponde a repetir a operação. Por extensão, a adição de zero, um ou uma quantidade infinita de números pode ser definida.
Pode também ser uma operação geométrica: a partir de dois segmentos de reta dados é possível determinar um terceiro segmento cujo comprimento seja igual à soma dos dois iniciais.
Índice
1 Propriedades importantes
2 Notação
3 Relações com outras operações e constantes
4 Somas úteis
5 Aproximação por integrais
6 Em música
7 Ver também
8 Ligações externas
9 Referências
Propriedades importantes |
No conjunto dos números reais a adição possui as seguintes propriedades:
Comutativa: A ordem das parcelas não altera o resultado da operação.[1] Assim, se 2 + 3 = 5, então 3 + 2 = 5.
Associativa: O agrupamento das parcelas não altera o resultado.[1] Assim, se (2 + 3) + 1 = 6, então 2 + (3 + 1) = 6.
Distributiva: Quando estamos multiplicando por um número, uma soma composta por duas parcelas, podemos primeiro efetuar a soma e depois a multiplicação, ou multiplicar cada uma das parcelas pelo referido valor e depois efetuar a soma dos resultados. Por exemplo, 2∗(3+4)=2∗3+2∗4{displaystyle 2*(3+4)=2*3+2*4}.
Elemento neutro: A parcela 0 (zero) não altera o resultado das demais parcelas. O zero é denominado como o "elemento neutro" da adição.[1] Assim, se 2 + 3 = 5, então 2 + 3 + 0 = 5.
Fechamento: A soma de dois números reais será sempre um número real.[1]
Notação |
Símbolo matemático da soma.
Se os termos, ou somandos, são escritos individualmente, então a adição é escrita usando-se o sinal mais, ou chus (em português arcaico) ("+"). Assim, a soma de 1, 2 e 4 é escrita como 1 + 2 + 4 = 7. Se os termos da soma não são escritos individualmente, então podemos usar reticências (...) para marcar os termos que foram omitidos. Assim, a soma de todos os números naturais de 1 a 100 é escrita como 1 + 2 + … + 99 + 100.
De forma alternativa, a soma pode ser representada pelo símbolo de somatório, que é a letra grega Sigma maiúscula. Isso é definido como:
- ∑i=mnxi=xm+xm+1+xm+2+⋯+xn−1+xn.{displaystyle sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+dots +x_{n-1}+x_{n}.}
O subscrito i fornece o símbolo para uma variável, i. Aqui, i representa o índice do somatório; m é o limite inferior do somatório, e n é o limite superior do somatório. Assim, por exemplo:
- ∑k=15k=1+2+3+4+5.{displaystyle sum _{k=1}^{5}k=1+2+3+4+5.}
Podemos também considerar somas com uma quantidade infinita de termos, chamadas de séries infinitas. A diferença na notação seria o uso do símbolo de infinito (∞) no lugar dos limites inferior e/ou superior. A soma de tais séries é definida como o limite da soma dos n primeiros termos quando n cresce sem limites. Isto é:
- ∑i=m∞xi:=limn→∞∑i=mnxi.{displaystyle sum _{i=m}^{infty }x_{i}:=lim _{nto infty }sum _{i=m}^{n}x_{i}.}
Podemos substituir de forma similiar m por infinito negativo, e
- ∑i=−∞∞xi:=limn→∞∑i=−nmxi+limn→∞∑i=m+1nxi,{displaystyle sum _{i=-infty }^{infty }x_{i}:=lim _{nto infty }sum _{i=-n}^{m}x_{i}+lim _{nto infty }sum _{i=m+1}^{n}x_{i},}
para algum m, desde que ambos os limites existam.
Relações com outras operações e constantes |
É possível somar menos que 2 números
- Se você somar o termo único x, então a soma é x.
- Se você somar zero termos, então a soma é zero, porque zero é o elemento neutro da adição. Isso é conhecido como soma vazia.
Esses casos degenerados são normalmente usados apenas quando a notação de soma dá um resultado degenerado num caso especial. Por exemplo, se m = n na definição acima, então há apenas um termo na soma; se m = n + 1, então não há nenhum.
Muitas outras operações podem ser pensadas como somas generalizadas. Se um termo único x aparece numa soma n vezes, então a soma é nx, o resultado de uma multiplicação. Se n não é um número natural, então a multiplicação ainda pode fazer sentido, de modo que temos uma espécie de noção de somar um termo, digamos, duas vezes e meia.
Um caso especial é a multiplicação por -1, que leva ao conceito de inverso aditivo, e a subtração, a operação inversa da adição.
A versão mais geral destas ideias é a combinação linear, em que qualquer quantidade de termos é incluída em uma soma generalizada qualquer número de vezes.
Somas úteis |
As identidades a seguir são bastante úteis:
| (ver séries aritméticas); |
- ∑i=1n(2i−1)=n2;{displaystyle sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2};}
- ∑i=0ni2=n(n+1)(2n+1)6;{displaystyle sum _{i=0}^{n}i^{2}={frac {n(n+1)(2n+1)}{6}};}
- ∑i=0ni3=(n(n+1)2)2;{displaystyle sum _{i=0}^{n}i^{3}=left({frac {n(n+1)}{2}}right)^{2};}
∑i=N1N2xi=xN2+1−xN1x−1{displaystyle sum _{i=N_{1}}^{N_{2}}x^{i}={frac {x^{N_{2}+1}-x^{N_{1}}}{x-1}}}(ver séries geométricas);
∑i=0nxi=xn+1−1x−1{displaystyle sum _{i=0}^{n}x^{i}={frac {x^{n+1}-1}{x-1}}}(caso especial do anterior em que N1=0{displaystyle {N_{1}}=0}
)
∑i=0∞kxi=k1−x;|x|<1{displaystyle sum _{i=0}^{infty }kx^{i}={frac {k}{1-x}};|x|<1}(caso especial do anterior, limn→∞{displaystyle lim _{nto infty }}
);
| (ver coeficiente binomial); |
- ∑i=0n−1(ik)=(nk+1).{displaystyle sum _{i=0}^{n-1}{i choose k}={n choose k+1}.}
Em geral, a soma das n primeiras potências de m é
- ∑i=0nim=(n+1)m+1m+1+∑k=1mBkm−k+1(mk)(n+1)m−k+1,{displaystyle sum _{i=0}^{n}i^{m}={frac {(n+1)^{m+1}}{m+1}}+sum _{k=1}^{m}{frac {B_{k}}{m-k+1}}{m choose k}(n+1)^{m-k+1},}
onde Bk{displaystyle B_{k}}
As seguintes expressões são aproximações úteis (usando notação teta):
∑i=1nic=Θ(nc+1){displaystyle sum _{i=1}^{n}i^{c}=Theta (n^{c+1})}
para toda constante real c maior que -1;
- ∑i=1n1i=Θ(logn){displaystyle sum _{i=1}^{n}{frac {1}{i}}=Theta (log {n})}
∑i=1nci=Θ(cn){displaystyle sum _{i=1}^{n}c^{i}=Theta (c^{n}),}
para toda constante real c maior que 1;
∑i=1nlog(i)c=Θ(n⋅log(n)c){displaystyle sum _{i=1}^{n}log(i)^{c}=Theta (ncdot log(n)^{c})}
para toda constante real c maior ou igual a zero;
∑i=1nlog(i)c⋅id=Θ(nd+1⋅log(n)c){displaystyle sum _{i=1}^{n}log(i)^{c}cdot i^{d}=Theta (n^{d+1}cdot log(n)^{c})}
para todas constantes reais não-negativas c e d;
∑i=1nlog(i)c⋅id⋅bi=Θ(nd⋅log(n)c⋅bn){displaystyle sum _{i=1}^{n}log(i)^{c}cdot i^{d}cdot b^{i}=Theta (n^{d}cdot log(n)^{c}cdot b^{n})}
para todas constantes reais b > 1, c, d.
Aproximação por integrais |
Muitas aproximações podem ser obtidas pela seguinte conexão entre somas e integrais, válida para qualquer função crescente f:
- ∫s=a−1bf(s)ds≤∑i=abf(i)≤∫s=ab+1f(s)ds.{displaystyle int _{s=a-1}^{b}f(s),dsleq sum _{i=a}^{b}f(i)leq int _{s=a}^{b+1}f(s),ds.}
Para aproximações mais gerais, ver a fórmula de Euler-Maclaurin.
Em música |
A adição também é usada na teoria musical dos conjuntos. George Perle fornece o exemplo seguinte:
- "dó-mi, ré-fá♯, mi♭-sol, são instâncias diferentes do mesmo intervalo… o outro tipo de identidade… está relacionado a eixos de simetria. Dó-mi pertence à família de díades simetricamente relacionadas, como segue:"
| ré | ré♯ | mi | fá | fá♯ | sol | sol♯ | |||||
| ré | dó♯ | dó | si | lá♯ | lá | sol♯ |
- Eixos de alturas em itálico, o eixo é determinado pela classe de alturas.
Assim, além de serem parte da família de intervalos-4, dó-mi também é parte da família soma-2 (com G♯ igual a 0).
A linha de tonalidades para a Lyric Suite de Alban Berg, {0,11,7,4,2,9,3,8,10,1,5,6}{displaystyle {0,11,7,4,2,9,3,8,10,1,5,6}}
dó | sol | ré | ré♯ | lá♯ | mi♯ | |||||
si | mi | lá | sol♯ | dó♯ | fá♯ |
- Eixos de alturas em itálico, o eixo é determinado pelas díades (intervalo 1).
Ver também |
- Aritmética modular
- Soma de Gauss
Ligações externas |
- Addition
Referências
↑ abcdef Novaes, Jean Carlos. «Adição e Suas Propriedades Fundamentais na Matemática». Matemática Básica. Consultado em 9 de junho de 2018
↑ Silva, Luiz Paulo Moreira. «Adição». Brasil Escola. Consultado em 9 de junho de 2018
Aritmética elementar | ||||||
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- Este artigo foi inicialmente traduzido do artigo da Wikipédia em inglês, cujo título é «Addition».
