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Um número pode ser representado de várias maneiras. Por exemplo, o número 0,5 também pode ser escrito na forma $frac{1}{2}$ , bem como $frac{5}{10}$ . A escolha da melhor representação irá depender de como o número será utilizado ou de quais operações serão realizadas.

Uma fração continuada, também chamada fração contínua é uma forma importante de representar números reais. Em geral, uma fração continuada é uma expressão da forma
${displaystyle a_{0}+{frac {b_{1}}{a_{1}+{frac {b_{2}}{a_{2}+{frac {b_{3}}{a_{3}+cdots }}}}}}}$ , em que o primeiro termo, $a_0$ , é um número inteiro e os demais números ${displaystyle a_{1},a_{2},ldots ,b_{1},b_{2},ldots ,}$ são números inteiros positivos.

Índice

1 Frações Continuadas Simples
- 1.1 Frações Continuadas Simples Infinitas

2 Frações Parciais

3 Contribuições Importantes

4 Exemplos de frações contínuas

5 Referências

6 Ligações externas

Frações Continuadas Simples |

Frações continuadas simples são expressões da forma ${displaystyle a_{0}+{frac {1}{a_{1}+{frac {1}{a_{2}+{frac {1}{a_{3}+{frac {1}{ddots }}}}}}}}}$ , em que todos os números $b_{j}$ são iguais a 1. Uma expressão da forma ${displaystyle a_{0}+{frac {1}{a_{1}+{frac {1}{a_{2}+{frac {1}{ddots +{frac {1}{a_{n}}}}}}}}}}$ é uma fração continuada simples finita. Tais expressões podem ser denotadas respectivamente por ${displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},ldots ]}$ e ${displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},ldots ,a_{n}]}$ . Observe que o termo $a_0$ é separado por ponto e vírgula para evidenciar a parte inteira do número representado.

Exemplos:
${displaystyle {frac {10}{7}}=1+{frac {3}{7}}=1+{frac {1}{frac {7}{3}}}=1+{frac {1}{2+{frac {1}{3}}}}=[1;2,3]}$

${displaystyle -{frac {18}{5}}=-4+{frac {2}{5}}=-4+{frac {1}{frac {5}{2}}}=-4+{frac {1}{2+{frac {1}{2}}}}=[-4;2,2]}$

Neste último exemplo, note que -4 é o maior inteiro que é menor do que -18/5.

Frações continuadas têm muitas propriedades relacionadas ao Algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo divisor comum (MDC) entre dois números inteiros.

Vejamos um exemplo mais detalhado: a representação do número ${displaystyle {frac {344}{77}}}$ na forma de fração continuada.

Usando-se o algoritmo da divisão, obtém-se ${displaystyle 344=4times 77+36}$ . Logo,
${displaystyle {frac {344}{77}}=4+{frac {36}{77}}}$ .

A fração ao lado direito da expressão anterior é uma fração própria e tem numerador diferente de 1. É possível escrevê-la na forma
${displaystyle {frac {1}{frac {77}{36}}}}$ . Com isso, obtém-se a expressão ${displaystyle {frac {344}{77}}=4+{frac {36}{77}}=4+{frac {1}{frac {77}{36}}}}$ .

A divisão de 77 por 36 resulta no quociente 2 e resto 5. Logo, ${displaystyle {frac {77}{36}}=2+{frac {5}{36}}=2+{frac {1}{frac {36}{5}}}}$ .

Procedendo-se dessa forma até que a última fração tenha numerador igual a 1, chega-se ao seguinte resultado:
${displaystyle {frac {344}{77}}=4+{frac {36}{77}}=4+{frac {1}{frac {77}{36}}}=4+{frac {1}{2+{frac {1}{frac {36}{5}}}}}=4+{frac {1}{2+{frac {1}{7+{frac {1}{5}}}}}}}$ .^[1]

Observa-se que não há como ir além desse resultado pois, ao se escrever a última fração na forma ${displaystyle {frac {1}{frac {5}{1}}}}$ , chega-se à divisão de 5 por 1 cujo resto é igual a 0. Portanto o cálculo termina. Assim, a representação do número ${displaystyle {frac {344}{77}}}$ na forma de fração continuada é finita e pode ser escrita de forma abreviada como [4; 2, 7, 5].

É interessante observar que a representação decimal do número ${displaystyle {frac {344}{77}}}$ é infinita, a saber, a dízima periódica 4,4675324675324... enquanto que a representação na forma de fração continuada é finita.

É fácil perceber que toda fração continuada finita representa um número racional. Reciprocamente, todo número racional pode ser escrito na forma de uma fração continuada finita.

Portanto, toda fração continuada infinita é uma representação de um número irracional.

Frações Continuadas Simples Infinitas |

É conveniente denotar repetições periódicas da forma ${displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},r,s,r,s,ldots ]}$
por ${displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},{overline {r,s}}]}$ .

Exemplo. Vamos verificar que ${displaystyle [2;2,2,2,ldots ]=[2;{overline {2}},]={sqrt {2}}+1}$ . De fato, como
${displaystyle ({sqrt {2}}+1)cdot ({sqrt {2}}-1)=1}$ , podemos escrever, ${displaystyle {sqrt {2}}-1={frac {1}{{sqrt {2}}+1}}}$

Também são verdadeiras as igualdades
${displaystyle {sqrt {2}}+1={sqrt {2}}+(2-1)=2+({sqrt {2}}-1)}$ .
Pode-se concluir que
${displaystyle {sqrt {2}}+1=2+{frac {1}{{sqrt {2}}+1}}}$

A aplicação sucessiva da última igualdade no denominador da fração obtida anteriormente, leva à seguinte expressão:

${displaystyle {sqrt {2}}+1=2+{frac {1}{{sqrt {2}}+1}}=2+{frac {1}{2+{frac {1}{{sqrt {2}}+1}}}}=2+{frac {1}{2+{frac {1}{2+{frac {1}{{sqrt {2}}+1}}}}}}=ldots =2+{frac {1}{2+{frac {1}{2+{frac {1}{2+ldots }}}}}}}$

O processo acima necessita de alguma verificação mais rigorosa, já que, por ser um processo infinito, não é garantido que o limite criado no lado direito da igualdade existe.

É interessante observar que, se conhecêssemos apenas o lado direito da expressão acima e soubéssemos que o limite existe, poderíamos escrever:
${displaystyle x=2+{frac {1}{2+{frac {1}{2+{frac {1}{2+ldots }}}}}}iff x-2={frac {1}{2+{frac {1}{2+{frac {1}{2+ldots }}}}}}={frac {1}{x}}iff (x-2)x=1iff x^{2}-2x-1=0}$

Como $x$ é um número positivo, concluímos que ${displaystyle x=1+{sqrt {2}}}$ .

Os exemplos acima devem motivar a estudar melhor a existência dos limites necessários para se concluir os resultados e garantir que as igualdades acima estão corretas.

Frações Parciais |

Se ${displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},ldots ]}$ , chamamos de convergentes ou frações parciais a sequência de números
racionais ${displaystyle c_{0},c_{1},c_{2},ldots }$ dados por:

${displaystyle c_{0}=a_{0},c_{1}=a_{0}+{frac {1}{a_{1}}},c_{2}=a_{0}+{frac {1}{a_{1}+{frac {1}{a_{2}}}}},cdots ,c_{n}=a_{0}+{frac {1}{a_{1}+{frac {1}{cdots +{frac {1}{a_{n}}}}}}},cdots }$ ,

ou seja,
${displaystyle c_{0}=[a_{0}],c_{1}=[a_{0};a_{1}],c_{2}=[a_{0};a_{1},a_{2}],cdots ,c_{n}=[a_{0};a_{1},a_{2},cdots ,a_{n}],cdots }$

A existência do limite da sequência das frações parciais ${displaystyle (c_{n})_{n}}$ deve ser estudada e estabelecida para que se possa garantir a veracidade das afirmações que envolvem frações continuadas infinitas.

Alguns exemplos:

O número de ouro, dado por ${displaystyle {frac {1+{sqrt {5}}}{2}}}$ pode ser escrito como a seguinte fração continuada infinita e periódica: ${displaystyle [1;{overline {1}},]}$ .

Os convergentes do número de ouro são ${displaystyle [1]=1,[1;1]=1+{frac {1}{1}}=2,[1;1,1]=1+{frac {1}{1+{frac {1}{1}}}}={frac {3}{2}},[1;1,1,1]={frac {5}{3}},[1;1,1,1,1]={frac {8}{5}},[1;1,1,1,1,1]={frac {13}{8}},cdots }$
É interessante observar que tanto os numeradores quanto os denominadores das frações parciais do número de ouro ${displaystyle ({frac {1}{1}},{frac {2}{1}},{frac {3}{2}},{frac {5}{3}},{frac {8}{5}},{frac {13}{8}},ldots )}$
formam a sequência de Fibonacci
${displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,cdots }$

${displaystyle {sqrt {3}}=[1;1,2,1,2,1,2,ldots ]=[1;{overline {1,2}}]}$

${displaystyle {sqrt {7}}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4,ldots ]=[2;{overline {1,1,1,4}}]}$

Contribuições Importantes |

Citamos a seguir alguns matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento deste assunto.

Rafael Bombelli (1526 - 1572) sabia (embora não com a notação usada hoje) que

${displaystyle {sqrt {13}}=3+{frac {4}{6+{frac {4}{6+{frac {4}{6+ldots }}}}}}}$

William Brouncker (1620 – 1684) escreveu a expansão

${displaystyle {frac {4}{pi }}=1+{frac {1}{2+{frac {9}{2+{frac {25}{2+{frac {49}{2+{frac {81}{2+ldots }}}}}}}}}}}$ , que foi uma descoberta muito importante para a história do número $pi$ .

Leonhard Euler (1707 - 1783) escreveu o primeiro texto abrangente em que

explicava propriedades de frações continuadas. Euler demonstrou que os racionais são escritos como
frações continuadas finitas e provou que a representação dos irracionais na forma de fração continuada é infinita.

É interessante saber que o número $e$ , definido por ${displaystyle e=lim _{nrightarrow infty }(1+{frac {1}{n}})^{n}}$ cujo valor aproximado é 2,718281... se escreve como
${displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,cdots ]}$

Johann Heinrich Lambert (1728 – 1777) escreveu a primeira demonstração de que o número $pi$ é irracional, usando frações continuadas para calcular ${displaystyle tan(x)}$ da forma

${displaystyle tan(x)={frac {1}{{frac {1}{x}}-{frac {1}{{frac {3}{x}}-{frac {1}{{frac {5}{x}}-cdots }}}}}}}$
Lambert usou essa expressão para concluir que se $x$ é um número
racional não nulo, então ${displaystyle tan(x)}$ não pode ser um número racional. Sendo assim, como ${displaystyle tan({frac {pi }{4}})=1}$ , então $pi$ não pode ser racional.

Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813) demonstrou que as raízes irracionais de equações quadráticas têm expansão na forma de fração continuada periódica.

Exemplos de frações contínuas |

Alguns exemplos de frações contínuas:
${displaystyle {sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,2,2,2,dots ]}$
${displaystyle {sqrt {3}}=[1;1,2,1,2,1,2,1,2,dots ]}$
${displaystyle {sqrt {5}}=[2;4,4,4,4,4,dots ]}$
${displaystyle {sqrt {7}}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4,1,1,1,4,dots ]}$
${displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,dots ]}$
${displaystyle pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,dots ]}$
${displaystyle phi =[1;1,1,1,1,1,1,1,1,dots ]}$