Xrfgtjtk

Este artigo ou secção contém fontes no fim do texto, mas que não são citadas no corpo do artigo, o que compromete a confiabilidade das informações. (desde abril de 2010) Por favor, melhore este artigo inserindo fontes no corpo do texto quando necessário.

 Nota: Se procura pelo(a) outras acepções - ou casos específicos como as proporções direta ou com o inverso do quadrado -, veja proporcionalidade (desambiguação).

A proporcionalidade, para a matemática, a química e a física, é a mais simples e comum relação entre grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente difundido na população leiga pois é bastante útil e de fácil resolução através da "regra de três". Quando existe proporcionalidade direta, a razão (divisão) entre os correspondentes valores das duas grandezas relacionadas é uma constante, e a esta constante dá-se o nome de constante de proporcionalidade.

Definição |

Em regra, a proporcionalidade é uma relação binária que pode ocorrer numa dupla de funções reais de mesmo domínio. Uma função é proporcional a outra se e somente se existe(m) alguma(s) constante(s) real(is) – denominada(s) constante(s) de proporcionalidade – que igual(em) cada razão entre as valorações. Então, dados um conjunto X⊆R{displaystyle Xsubseteq mathbb {R} } e duas funções f,g:X→R{displaystyle f,g:Xto mathbb {R} }, temos que:
f{displaystyle f} é proporcional a g{displaystyle g} se e só se existe alguma constante real k{displaystyle k} tal que, para todo x{displaystyle x} ao longo de X{displaystyle X}, f(x)g(x)=k{displaystyle {frac {f(x)}{g(x)}}=k}
Isso é

f∝g⟺∃k∈R.∀x∈X.f(x)g(x)=k{displaystyle fpropto giff exists kin mathbb {R} .quad forall xin X.quad {frac {f(x)}{g(x)}}=k}

Isso vale para os números reais; álgebras exóticas não serão abordadas nesse artigo.

Sendo verdadeira a proporcionalidade, existirão exatamente um ou dois valores possíveis para k{displaystyle k}.

∀x∈X.k∈{f(x)g(x),g(x)f(x)}{displaystyle forall xin X.quad kin left{{frac {f(x)}{g(x)}},{frac {g(x)}{f(x)}}right}}

E mantêm a propriedade de serem inversas multiplicativas uma da outra.

Propriedades |

Algumas propriedades da proporcionalidade serão enunciadas e provadas abaixo:

Equivalente |

A relação de proporcionalidade é reflexiva, comutativa (ou "simétrica") e transitiva, portanto, é uma relação de equivalência.

Reflexiva |

Toda função é proporcional a si mesma.

f∝f{displaystyle fpropto f}

Provada a partir da definição:

∀x∈X.f(x)f(x)=1{displaystyle forall xin X.quad {frac {f(x)}{f(x)}}=1}

Este é o único caso em que existe uma só constante real de proporcionalidade.

Comutativa (ou "Simétrica") |

Não existe uma ordem exacta dos objetos, pois seja qual for a sua colocação a proporcionalidade não se altera.

f∝g⟺g∝f{displaystyle fpropto giff gpropto f}

Isso porque compartilham do mesmo conjunto de constantes de proporcionalidade:

∀x∈X.k∈{f(x)g(x),g(x)f(x)}={g(x)f(x),f(x)g(x)}{displaystyle forall xin X.quad kin left{{tfrac {f(x)}{g(x)}},{tfrac {g(x)}{f(x)}}right}=left{{tfrac {g(x)}{f(x)}},{tfrac {f(x)}{g(x)}}right}}

Transitiva |

A proporcionalidade é transitiva:

f∝g∧g∝h⟺f∝h{displaystyle fpropto gland gpropto hiff fpropto h}

Portando a expressão acima pode ser simplificada em:

f∝g∝h{displaystyle fpropto gpropto h}

Prova-se a partir da definição:

∀x∈X.f(x)=α⋅g(x)∀x∈X.g(x)=β⋅h(x)∴∀x∈X.f(x)=αβ⋅h(x){displaystyle {begin{aligned}forall xin X.quad f(x)&=alpha cdot g(x)\forall xin X.quad g(x)&=beta cdot h(x)\therefore forall xin X.quad f(x)&=alpha beta cdot h(x)\end{aligned}}}

O produto entre constantes é constante.

Mecanismos de resolução |

Eis alguns processos de cálculo que conservam uma proporcionalidade verdadeira:

1. Multiplicação de ambos os termos


2. Inversão de ambos os termos


3. Eliminação de constantes

Algoritmos |

1. "Regra de três" ou "Multiplicação cruzada"


2. "Regra de três composta"

Deduzindo proporcionalidades a partir de igualdades |

Considere, por exemplo, a equação de Clapeyron:

∀t∈T.P(t)⋅V(t)=n(t)⋅R⋅T(t){displaystyle forall tin {mathfrak {T}}.quad P(t)cdot V(t)=n(t)cdot Rcdot T(t)}

Formas de proporcionalidade |

Retórica	Simbologia	Exemplo
"variação proporcional"	Δa∝Δb{displaystyle Delta apropto Delta b}	Retas paralelas
"directamente proporcional"	a∝b{displaystyle apropto b}	Semelhança de triângulos
"inversamente proporcional"	ab∝1{displaystyle abpropto 1}	Lei de Boyle-Mariotte (pressão e volume)
"proporcional ao quadrado"	a∝b2{displaystyle apropto b^{2}}	Esfera (raio e volume)
"inversamente proporcional ao quadrado"	ab2∝1{displaystyle ab^{2}propto 1}	Gravitação Universal e Lei de Coulomb (força e distância)
"proporcional ao cubo"	a∝b3{displaystyle apropto b^{3}}	Semelhança de pirâmides
"inversamente proporcional ao cubo"	ab3∝1{displaystyle ab^{3}propto 1}	Força dipolo permanente (força e distância)
"quadrado proporcional ao cubo"	a2∝b3{displaystyle a^{2}propto b^{3}}	Terceira lei de Kepler (período e semieixo maior)
"em divina proporção"	a+ba=ab{displaystyle {tfrac {a+b}{a}}={tfrac {a}{b}}}	As alturas do Homem vitruviano até o umbigo e até a cabeça.

Proporcionalidade inversa |

Se duas funções são inversamente proporcionais, então uma é proporcional ao inverso multiplicativo da outra.

a∝b−1⟺b∝a−1{displaystyle apropto b^{-1}iff bpropto a^{-1}}

Isso ocorre por que podemos inverter ambos os termos da expressão de proporcionalidade. Ambas as formas estabelecem que:

ab∝1{displaystyle abpropto 1}

Divina proporção |

Quando o número de ouro (φ≈1,618){displaystyle left(varphi approx 1,618right)} é uma constante duma relação verdadeira de uma proporcionalidade entre funções positivas diz-se que estão em divina proporção.

Isso ocorre se e somente se:

a+ba=ab∴ab=φ{displaystyle {frac {a+b}{a}}={frac {a}{b}}quad therefore quad {frac {a}{b}}=varphi }

Aplicações |

Além de um enorme número de aplicações cotidianas, a proporcionalidade, associada à análise dimensional é muito útil ao empirismo científico.

A proporcionalidade também é de interesse das artes e do estudo da estética.

Linearização |

Embora a mais simples relação entre grandezas, é sabido contudo que grande parte das relações encontradas entre grandezas físicas naturais não se fazem mediante proporção direta. Há contudo ferramentas matemáticas específicas, a exemplo a troca de variáveis e as linearizações, que permitem reduzir uma relação inicialmente mais complicada a uma relação de proporção direta, quando não ao longo de todo o domínio de validade da relação, ao menos localmente. A expansão em séries de Taylor desempenha importante papel em áreas científicas exatas tanto em teorias como na prática. Indica-se a leitura de artigos específicos para mais informações sobre o assunto.

Ver também |

O wikilivro Matemática para concursos/Razão e proporção tem uma página intitulada Razão e proporção

• Razão


• Proporção direta


• Proporção inversa


• Variação com o inverso do quadrado


• Variação com o quadrado


• Variação com o cubo


• Linearização

Bibliografia |

• Lima, Elon Lages. Temas e problemas. 1.ed. SBM, 2001. 193 p. Capítulo 1. ISBN 8585818166
  

Este artigo sobre física é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. v d e

Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. v d e