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Em aritmética e em teoria dos números, o mínimo múltiplo comum (mmc) de dois inteiros a e b é o menor inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente de a e de b. Se não existir tal inteiro positivo, por exemplo, se a =0 ou b = 0, então mmc(a, b) é zero por definição.

O mínimo múltiplo comum é útil em operações de soma e subtração de frações vulgares, onde é preciso um denominador comum entre as frações operadas. O mmc fornece um denominador comum mínimo que costuma agilizar cálculos realizados manualmente. Considere-se por exemplo

221+16=442+742=1142,{displaystyle {2 over 21}+{1 over 6}={4 over 42}+{7 over 42}={11 over 42},}

onde o denominador 42 foi usado porque mmc(21, 6) = 42.

Se nem a nem b são zero, o mínimo múltiplo comum pode ser computado usando o máximo divisor comum (mdc) entre a e b:

mmc⁡(a,b)=a⋅bmdc⁡(a,b).{displaystyle operatorname {mmc} (a,b)={frac {acdot b}{operatorname {mdc} (a,b)}}.}

Assim, o Algoritmo Euclidiano para o mdc também nos dá um algoritmo rápido para o mmc. Retornando ao exemplo acima,

mmc⁡(21,6)=21⋅6mdc⁡(21,6)=21⋅63=21⋅2=42.{displaystyle operatorname {mmc} (21,6)={21cdot 6 over operatorname {mdc} (21,6)}={21cdot 6 over 3}={21cdot 2}=42.}

Agora note que como :mmc⁡(a,b)=a⋅bmdc⁡(a,b).{displaystyle operatorname {mmc} (a,b)={frac {acdot b}{operatorname {mdc} (a,b)}}.} então:

mmc⁡(a,b).mdc⁡(a,b)=a.b.{displaystyle operatorname {mmc} (a,b).{operatorname {mdc} (a,b)}=a.b.}

Cálculo eficiente |

A fórmula

mmc⁡(a,b)=a⋅bmdc⁡(a,b){displaystyle operatorname {mmc} (a,b)={frac {acdot b}{operatorname {mdc} (a,b)}}}

é adequada para o cálculo do mmc para números pequenos usando a fórmula tal e qual como está escrita.

Porque (ab)/c = a(b/c) = (a/c)b, pode-se calcular o mmc usando a fórmula acima mais eficientemente, calculando primeiro b/c ou a/c , sendo mais fácil de calcular que o quociente do produto ab por c, pois o facto de que c é multiplo tanto de a como de b permite que em qualquer fracção, a/c ou b/c, se possa cancelar o valor de c. Isto é verdade quer os cálculos sejam feitos por um humano, ou por um computador, o que pode ter requisitos de armazenamento nas variáveis a, b, c, onde os limites podem ser de armazenamento de 4 bytes - calcular ab pode causar um overflow, se o espaço de armazenamento não for devidamente reservado.

Usando isto, podemos então calcular o mmc usando:

mmc⁡(a,b)=(amdc⁡(a,b))⋅b{displaystyle operatorname {mmc} (a,b)=left({a over operatorname {mdc} (a,b)}right)cdot b}

ou

mmc⁡(a,b)=a⋅(bmdc⁡(a,b)).{displaystyle operatorname {mmc} (a,b)=acdot left({b over operatorname {mdc} (a,b)}right).,}

Deste modo, no exemplo anterior:

mmc⁡(21,6)=21mdc⁡(21,6)⋅6=213⋅6=7⋅6=42.{displaystyle operatorname {mmc} (21,6)={21 over operatorname {mdc} (21,6)}cdot 6={21 over 3}cdot 6=7cdot 6=42.}

Mesmo que os números sejam grandes e não sejam rapidamente factorizáveis, o mdc pode ser rapidamente calculado com o Algoritmo de Euclides.

Uma forma de nos lembrarmos de cancelar antes de multiplicar |

Para aqueles que já ensinaram matemática elementar é por vezes frustrantemente difícil obter estudantes que se lembrem de cancelar antes de multiplicar. A seguinte maneira tem a virtude de tornar este passo impossível de esquecer (essencialmente torna-se desnecessário lembrar). Ilustraremos isto com o exemplo da procura do mmc(12, 8).

• Primeiro, reduz-se a fracção aos seus menores termos: 128=32.{displaystyle {12 over 8}={3 over 2}.}
  


• Depois, multiplica-se "em cruz": 12×2=8×3.{displaystyle 12times 2=8times 3.,}
  


• O produto 12 × 2 = 8 × 3 = 24 é o mmc.

Método alternativo |

O Teorema da factorização única diz que todo o número maior que 1 pode ser escrito de um só modo como um produto de números primos. Os números primos podem ser considerados como os elementos atómicos que, quando combinados, formam um número composto.

Por exemplo:

90=21⋅32⋅51=2⋅9⋅5{displaystyle 90=2^{1}cdot 3^{2}cdot 5^{1}=2cdot 9cdot 5,!}

Aqui temos o número composto 90, constituído por um átomo do número primo 2, dois átomos do número primo 3 e um átomo do número primo 5.

Podemos usar este conhecimento para encontrar facilmente o mmc de um grupo de números.

Por exemplo: Encontrar o valor de mmc(45, 120, 75)

45=20⋅32⋅51{displaystyle 45;,=2^{0}cdot 3^{2}cdot 5^{1},!}

120=23⋅31⋅51{displaystyle 120=2^{3}cdot 3^{1}cdot 5^{1},!}

75=20⋅31⋅52.{displaystyle 75;,=2^{0}cdot 3^{1}cdot 5^{2}.,!}

O mmc é o número que tem o maior múltiplo de cada tipo diferente de átomo. Assim

mmc(45,120,75)=23⋅32⋅52=8⋅9⋅25=1800.{displaystyle mmc(45,120,75)=2^{3}cdot 3^{2}cdot 5^{2}=8cdot 9cdot 25=1800.,!}

Outras propriedades |

Considerado como operação binária, o mmc de dois inteiros positivos tem as propriedades comutativa e associativa, é idempotente, 1 é o elemento neutro, e a multiplicação é distributiva com o mmc:

a∗mmc⁡(b,c)=mmc⁡(a∗b,a∗c){displaystyle a*operatorname {mmc} (b,c)=operatorname {mmc} (a*b,a*c),}

O mmc satisfaz a comutatividade, ou seja:

mmc⁡(a,b)=mmc⁡(b,a){displaystyle operatorname {mmc} (a,b)=operatorname {mmc} (b,a);}

O mmc satisfaz a associatividade, ou seja:

mmc⁡(a,mmc⁡(b,c))=mmc⁡(mmc⁡(a,b),c){displaystyle operatorname {mmc} (a,operatorname {mmc} (b,c))=operatorname {mmc} (operatorname {mmc} (a,b),c);}

O mmc é idempotente, ou seja:

mmc⁡(a,a)=a{displaystyle operatorname {mmc} (a,a)=a;}

Ver também |

• Máximo divisor comum


• Critérios de divisibilidade


• Números primos


• Divisibilidade

Ligações externas (em Inglês) |

• Calculador do MMC Online


• Calculador do MMC Online (2)


• Quiz do MMC


• 
  Cálculo do MMC e do MDC Estes calculadores usam o algoritmo descrito na Wikipedia.